Номер 576, страница 238 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 34. Различные приёмы решения систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 576, страница 238.

Условие.

576. 1) $\begin{cases} (x-1)(y-1)=2, \\ x+y=5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} (x-2)(y+1)=1, \\ x-y=3. \end{cases}$

Решение 3.

Решение 4.

1) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} (x-1)(y-1) = 2 \\ x+y = 5 \end{cases} $$

Для решения системы используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим переменную y через x:

$y = 5 - x$

Теперь подставим полученное выражение для y в первое уравнение системы:

$(x-1)((5-x)-1) = 2$

Упростим и решим полученное уравнение относительно x:

$(x-1)(4-x) = 2$

Раскроем скобки:

$4x - x^2 - 4 + x = 2$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$-x^2 + 5x - 4 - 2 = 0$

$-x^2 + 5x - 6 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1 для удобства:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Корни этого квадратного уравнения можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Таким образом, корни уравнения:

$x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого найденного значения x, используя формулу $y = 5 - x$:

1. Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 5 - 2 = 3$.

2. Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 5 - 3 = 2$.

Таким образом, система имеет два решения в виде пар чисел (x; y).

Ответ: (2; 3), (3; 2).

2) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} (x-2)(y+1) = 1 \\ x-y = 3 \end{cases} $$

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную x через y:

$x = y + 3$

Подставим это выражение для x в первое уравнение системы:

$((y+3)-2)(y+1) = 1$

Упростим и решим полученное уравнение:

$(y+1)(y+1) = 1$

$(y+1)^2 = 1$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Это дает два возможных случая:

$y+1 = 1$ или $y+1 = -1$

Решим каждое из этих простых линейных уравнений:

1. $y_1 = 1 - 1 = 0$

2. $y_2 = -1 - 1 = -2$

Теперь найдем соответствующие значения x для каждого найденного значения y, используя формулу $x = y + 3$:

1. Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 0 + 3 = 3$.

2. Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 3 = 1$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: (3; 0), (1; -2).