Номер 580, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 34. Различные приёмы решения систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 580, страница 239.

Условие.

580. 1) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ xy = 3; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 19, \\ xy = 15; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 + 4xy + y^2 = 94, \\ xy = 15; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 - 6xy + y^2 = 8, \\ xy = 7. \end{cases} $

Решение 3.

Решение 4.

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy = 3 \end{cases} $

Это симметрическая система. Для её решения удобно использовать формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Выразим $x^2+y^2$ и подставим известные значения из системы:

$(x+y)^2 = (x^2 + y^2) + 2xy = 10 + 2 \cdot 3 = 16$.

Из этого следует, что $x+y = \sqrt{16} = 4$ или $x+y = -\sqrt{16} = -4$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x+y = 4$ и $xy = 3$.

Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 3$.

Следовательно, решениями являются пары $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Случай 2: $x+y = -4$ и $xy = 3$.

В этом случае $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - (-4)t + 3 = 0$, то есть $t^2 + 4t + 3 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = -1$, $t_2 = -3$.

Следовательно, решениями являются пары $(-1, -3)$ и $(-3, -1)$.

Ответ: $(1, 3)$, $(3, 1)$, $(-1, -3)$, $(-3, -1)$.

---

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 19 \\ xy = 15 \end{cases} $

Подставим значение $xy$ из второго уравнения в первое:

$x^2 - 15 + y^2 = 19$.

Отсюда получаем $x^2 + y^2 = 19 + 15 = 34$.

Теперь система сводится к виду:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 34 \\ xy = 15 \end{cases} $

Как и в предыдущем задании, найдем $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 34 + 2 \cdot 15 = 34 + 30 = 64$.

Значит, $x+y = 8$ или $x+y = -8$.

Случай 1: $x+y=8$ и $xy=15$.

$x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - 8t + 15 = 0$. Корни: $t_1=3, t_2=5$. Решения: $(3, 5)$ и $(5, 3)$.

Случай 2: $x+y=-8$ и $xy=15$.

$x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 + 8t + 15 = 0$. Корни: $t_1=-3, t_2=-5$. Решения: $(-3, -5)$ и $(-5, -3)$.

Ответ: $(3, 5)$, $(5, 3)$, $(-3, -5)$, $(-5, -3)$.

---

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 4xy + y^2 = 94 \\ xy = 15 \end{cases} $

Подставим значение $xy=15$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + 4(15) + y^2 = 94$.

$x^2 + 60 + y^2 = 94$.

$x^2 + y^2 = 94 - 60 = 34$.

В результате мы получаем систему, которая полностью совпадает с преобразованной системой из пункта 2):

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 34 \\ xy = 15 \end{cases} $

Следовательно, решения этой системы будут такими же.

Ответ: $(3, 5)$, $(5, 3)$, $(-3, -5)$, $(-5, -3)$.

---

4) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 6xy + y^2 = 8 \\ xy = 7 \end{cases} $

Подставим $xy=7$ в первое уравнение:

$x^2 - 6(7) + y^2 = 8$.

$x^2 - 42 + y^2 = 8$.

$x^2 + y^2 = 8 + 42 = 50$.

Решаем новую систему:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 50 \\ xy = 7 \end{cases} $

Найдем $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 50 + 2 \cdot 7 = 50 + 14 = 64$.

Отсюда $x+y = 8$ или $x+y = -8$.

Случай 1: $x+y=8$ и $xy=7$.

$x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - 8t + 7 = 0$. Корни: $t_1=1, t_2=7$. Решения: $(1, 7)$ и $(7, 1)$.

Случай 2: $x+y=-8$ и $xy=7$.

$x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 + 8t + 7 = 0$. Корни: $t_1=-1, t_2=-7$. Решения: $(-1, -7)$ и $(-7, -1)$.

Ответ: $(1, 7)$, $(7, 1)$, $(-1, -7)$, $(-7, -1)$.