Номер 584, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 34. Различные приёмы решения систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 584, страница 239.

Условие.

584. 1) $\begin{cases} x^3 + 27y^3 = 54, \\ x^2 - 3xy + 9y^2 = 9; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 19, \\ x^2 + xy + y^2 = 49; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^3 - y^3 = 72, \\ x - y = 6; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + 5xy + y^2 = 25, \\ 5x + y = 8. \end{cases}$

Решение 3.

Решение 4.

1)Дана система уравнений:$\begin{cases}x^3 + 27y^3 = 54, \\x^2 - 3xy + 9y^2 = 9;\end{cases}$
Первое уравнение представляет собой сумму кубов $x^3 + (3y)^3$. Используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
$x^3 + (3y)^3 = (x+3y)(x^2 - x(3y) + (3y)^2) = (x+3y)(x^2 - 3xy + 9y^2)$.
Подставим это в первое уравнение системы:$(x+3y)(x^2 - 3xy + 9y^2) = 54$.
Теперь подставим второе уравнение системы, $x^2 - 3xy + 9y^2 = 9$, в полученное выражение:$(x+3y) \cdot 9 = 54$.
Отсюда находим:$x+3y = 54/9$,$x+3y = 6$.
Теперь мы имеем новую, более простую систему:$\begin{cases}x+3y = 6, \\x^2 - 3xy + 9y^2 = 9.\end{cases}$
Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 6 - 3y$.
Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:$(6 - 3y)^2 - 3(6 - 3y)y + 9y^2 = 9$.
Раскроем скобки и упростим:$(36 - 36y + 9y^2) - (18y - 9y^2) + 9y^2 = 9$.$36 - 36y + 9y^2 - 18y + 9y^2 + 9y^2 = 9$.
Приведем подобные члены:$27y^2 - 54y + 36 = 9$.$27y^2 - 54y + 27 = 0$.
Разделим уравнение на 27:$y^2 - 2y + 1 = 0$.
Это полный квадрат: $(y-1)^2 = 0$.Отсюда $y=1$.
Найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = 6 - 3y$:$x = 6 - 3(1) = 3$.
Решение системы: $(3, 1)$.

Ответ: $(3, 1)$.

2)Дана система уравнений:$\begin{cases}x^2 - xy + y^2 = 19, \\x^2 + xy + y^2 = 49;\end{cases}$
Сложим два уравнения системы:$(x^2 - xy + y^2) + (x^2 + xy + y^2) = 19 + 49$.$2x^2 + 2y^2 = 68$.$x^2 + y^2 = 34$.
Вычтем первое уравнение из второго:$(x^2 + xy + y^2) - (x^2 - xy + y^2) = 49 - 19$.$2xy = 30$.$xy = 15$.
Получили новую систему:$\begin{cases}x^2 + y^2 = 34, \\xy = 15.\end{cases}$
Теперь можно найти $(x+y)^2$ и $(x-y)^2$:$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = (x^2+y^2) + 2xy = 34 + 2(15) = 64$.Следовательно, $x+y = \pm 8$.
$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = (x^2+y^2) - 2xy = 34 - 2(15) = 4$.Следовательно, $x-y = \pm 2$.
Получаем четыре системы линейных уравнений:
1. $\begin{cases} x+y=8 \\ x-y=2 \end{cases} \implies 2x=10, x=5 \implies y=3$. Решение $(5, 3)$.
2. $\begin{cases} x+y=8 \\ x-y=-2 \end{cases} \implies 2x=6, x=3 \implies y=5$. Решение $(3, 5)$.
3. $\begin{cases} x+y=-8 \\ x-y=2 \end{cases} \implies 2x=-6, x=-3 \implies y=-5$. Решение $(-3, -5)$.
4. $\begin{cases} x+y=-8 \\ x-y=-2 \end{cases} \implies 2x=-10, x=-5 \implies y=-3$. Решение $(-5, -3)$.

Ответ: $(5, 3), (-5, -3), (3, 5), (-3, -5)$.

3)Дана система уравнений:$\begin{cases}x^3 - y^3 = 72, \\x - y = 6;\end{cases}$
Используем формулу разности кубов для первого уравнения: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.$(x-y)(x^2 + xy + y^2) = 72$.
Подставим второе уравнение $x-y=6$ в это выражение:$6(x^2 + xy + y^2) = 72$.
Разделим обе части на 6:$x^2 + xy + y^2 = 12$.
Теперь решим систему:$\begin{cases}x - y = 6, \\x^2 + xy + y^2 = 12.\end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + 6$.
Подставим это во второе уравнение:$(y + 6)^2 + (y + 6)y + y^2 = 12$.
Раскроем скобки:$(y^2 + 12y + 36) + (y^2 + 6y) + y^2 = 12$.
Приведем подобные члены:$3y^2 + 18y + 36 = 12$.$3y^2 + 18y + 24 = 0$.
Разделим уравнение на 3:$y^2 + 6y + 8 = 0$.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = -2$, $y_2 = -4$.
Найдем соответствующие значения $x$:Если $y_1 = -2$, то $x_1 = -2 + 6 = 4$.Если $y_2 = -4$, то $x_2 = -4 + 6 = 2$.
Получаем два решения.

Ответ: $(4, -2), (2, -4)$.

4)Дана система уравнений:$\begin{cases}x^2 + 5xy + y^2 = 25, \\5x + y = 8.\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:$y = 8 - 5x$.
Подставим это выражение в первое уравнение:$x^2 + 5x(8 - 5x) + (8 - 5x)^2 = 25$.
Раскроем скобки и упростим:$x^2 + 40x - 25x^2 + (64 - 80x + 25x^2) = 25$.$x^2 + 40x - 25x^2 + 64 - 80x + 25x^2 = 25$.
Приведем подобные члены (слагаемые $-25x^2$ и $25x^2$ взаимно уничтожаются):$x^2 - 40x + 64 = 25$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$x^2 - 40x + 39 = 0$.
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 40, произведение равно 39. Корни легко находятся: $x_1 = 1$, $x_2 = 39$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя $y = 8 - 5x$:Для $x_1 = 1$:$y_1 = 8 - 5(1) = 8 - 5 = 3$.
Для $x_2 = 39$:$y_2 = 8 - 5(39) = 8 - 195 = -187$.
Получаем два решения.

Ответ: $(1, 3), (39, -187)$.