Номер 586, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 34. Различные приёмы решения систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 586, страница 239.

Условие.

586. 1) $\begin{cases} yz = 15, \\ xz = 10, \\ y^2 + z^2 = 34; \end{cases}$

2) $\begin{cases} xz + yz = 16, \\ xy + yz = 15, \\ xz + xy = 7. \end{cases}$

Решение 3.

Решение 4.

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}yz = 15, \\xz = 10, \\y^2 + z^2 = 34;\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $z$ (поскольку $yz=15$, то $z \ne 0$):

$y = \frac{15}{z}$

Подставим это выражение в третье уравнение системы:

$(\frac{15}{z})^2 + z^2 = 34$

$\frac{225}{z^2} + z^2 = 34$

Умножим обе части уравнения на $z^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$225 + z^4 = 34z^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить биквадратное уравнение:

$z^4 - 34z^2 + 225 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = z^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид:

$t^2 - 34t + 225 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 34, а их произведение равно 225. Легко подобрать корни $t_1 = 9$ и $t_2 = 25$. Или, используя формулу для корней:

$D = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 225 = 1156 - 900 = 256 = 16^2$

$t_{1,2} = \frac{34 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{34 \pm 16}{2}$

Отсюда $t_1 = \frac{34+16}{2} = 25$ и $t_2 = \frac{34-16}{2} = 9$.

Оба корня положительные, поэтому возвращаемся к замене $z^2 = t$:

1. $z^2 = 25 \Rightarrow z = 5$ или $z = -5$.

2. $z^2 = 9 \Rightarrow z = 3$ или $z = -3$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ и $x$ для каждого из четырех найденных значений $z$.

• Случай 1: $z = 5$

  Из $yz=15$: $y \cdot 5 = 15 \Rightarrow y = 3$.

  Из $xz=10$: $x \cdot 5 = 10 \Rightarrow x = 2$.

  Первое решение: $(2, 3, 5)$.

• Случай 2: $z = -5$

  Из $yz=15$: $y \cdot (-5) = 15 \Rightarrow y = -3$.

  Из $xz=10$: $x \cdot (-5) = 10 \Rightarrow x = -2$.

  Второе решение: $(-2, -3, -5)$.

• Случай 3: $z = 3$

  Из $yz=15$: $y \cdot 3 = 15 \Rightarrow y = 5$.

  Из $xz=10$: $x \cdot 3 = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{3}$.

  Третье решение: $(\frac{10}{3}, 5, 3)$.

• Случай 4: $z = -3$

  Из $yz=15$: $y \cdot (-3) = 15 \Rightarrow y = -5$.

  Из $xz=10$: $x \cdot (-3) = 10 \Rightarrow x = -\frac{10}{3}$.

  Четвертое решение: $(-\frac{10}{3}, -5, -3)$.

Ответ: $(2, 3, 5)$, $(-2, -3, -5)$, $(\frac{10}{3}, 5, 3)$, $(-\frac{10}{3}, -5, -3)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}xz + yz = 16, \\xy + yz = 15, \\xz + xy = 7.\end{cases}$

Сложим все три уравнения системы:

$(xz + yz) + (xy + yz) + (xz + xy) = 16 + 15 + 7$

$2xz + 2yz + 2xy = 38$

Разделим обе части на 2:

$xy + yz + xz = 19$

Теперь будем вычитать из полученного уравнения каждое уравнение исходной системы поочередно.

1. Вычтем первое уравнение $(xz + yz = 16)$:

$(xy + yz + xz) - (xz + yz) = 19 - 16 \Rightarrow xy = 3$.

2. Вычтем второе уравнение $(xy + yz = 15)$:

$(xy + yz + xz) - (xy + yz) = 19 - 15 \Rightarrow xz = 4$.

3. Вычтем третье уравнение $(xz + xy = 7)$:

$(xy + yz + xz) - (xz + xy) = 19 - 7 \Rightarrow yz = 12$.

Мы получили новую, более простую систему:

$\begin{cases}xy = 3, \\xz = 4, \\yz = 12.\end{cases}$

Перемножим все три уравнения этой новой системы:

$(xy) \cdot (xz) \cdot (yz) = 3 \cdot 4 \cdot 12$

$x^2 y^2 z^2 = 144$

$(xyz)^2 = 144$

Отсюда следует, что $xyz = \pm \sqrt{144} = \pm 12$. Рассмотрим два случая.

• Случай 1: $xyz = 12$

  Чтобы найти $x$, разделим $xyz$ на $yz$: $x = \frac{xyz}{yz} = \frac{12}{12} = 1$.

  Чтобы найти $y$, разделим $xyz$ на $xz$: $y = \frac{xyz}{xz} = \frac{12}{4} = 3$.

  Чтобы найти $z$, разделим $xyz$ на $xy$: $z = \frac{xyz}{xy} = \frac{12}{3} = 4$.

  Получаем первое решение: $(1, 3, 4)$.

• Случай 2: $xyz = -12$

  Аналогично находим переменные:

  $x = \frac{xyz}{yz} = \frac{-12}{12} = -1$.

  $y = \frac{xyz}{xz} = \frac{-12}{4} = -3$.

  $z = \frac{xyz}{xy} = \frac{-12}{3} = -4$.

  Получаем второе решение: $(-1, -3, -4)$.

Проверкой можно убедиться, что оба набора чисел удовлетворяют исходной системе.

Ответ: $(1, 3, 4)$, $(-1, -3, -4)$.