Номер 4, страница 244 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 35. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 4, страница 244.

Условие.

4. Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 20 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста. Скорость первого $x$ км/ч, скорость второго $y$ км/ч, встреча произошла через $1,5$ ч.

Решение 4.

Данная задача описывает движение двух велосипедистов навстречу друг другу. Для решения задачи определим ключевые параметры из условия:

• Общее расстояние: $S = 20$ км.
• Скорость первого велосипедиста: $v_1 = x$ км/ч.
• Скорость второго велосипедиста: $v_2 = y$ км/ч.
• Время движения до встречи: $t = 1,5$ ч.

Когда объекты движутся навстречу друг другу, их скорость сближения является суммой их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2 = x + y$.

Расстояние, которое они вместе преодолели до встречи, равно исходному расстоянию между ними и вычисляется по формуле $S = v_{сбл} \cdot t$.

Подставив известные значения, мы получаем основное уравнение, которое связывает скорости велосипедистов: $20 = (x + y) \cdot 1,5$

Поскольку в условии не содержится конкретного вопроса, ниже приведены решения для нескольких типичных подзадач, основанных на этих данных.

а) Составить уравнение, связывающее $x$ и $y$, и упростить его.

Как было показано выше, исходное уравнение, связывающее скорости, имеет вид: $1,5(x + y) = 20$

Чтобы упростить это уравнение, разделим обе его части на $1,5$: $x + y = \frac{20}{1,5}$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь $1,5$ в виде обыкновенной: $1,5 = \frac{3}{2}$. $x + y = \frac{20}{3/2} = 20 \cdot \frac{2}{3} = \frac{40}{3}$

Таким образом, мы получили упрощенное уравнение, связывающее скорости $x$ и $y$. Его можно оставить в виде неправильной дроби или выделить целую часть: $x + y = 13\frac{1}{3}$.

Ответ: $1,5(x+y)=20$ или в упрощенном виде $x+y=\frac{40}{3}$.

б) Выразить скорость второго велосипедиста ($y$) через скорость первого ($x$).

Для этого воспользуемся упрощенным уравнением из предыдущего пункта: $x + y = \frac{40}{3}$

Чтобы выразить $y$, необходимо перенести $x$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный: $y = \frac{40}{3} - x$

Ответ: $y = \frac{40}{3} - x$.

в) Найти скорость второго велосипедиста, если скорость первого равна 10 км/ч.

По условию этого пункта, $x = 10$ км/ч. Для нахождения $y$ используем формулу, выведенную в пункте б): $y = \frac{40}{3} - x$

Подставим известное значение $x$: $y = \frac{40}{3} - 10$

Приведем вычитаемое к общему знаменателю 3: $10 = \frac{10 \cdot 3}{3} = \frac{30}{3}$. $y = \frac{40}{3} - \frac{30}{3} = \frac{40 - 30}{3} = \frac{10}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$ км/ч.

Ответ: Скорость второго велосипедиста равна $3\frac{1}{3}$ км/ч.

г) Найти скорости обоих велосипедистов, если известно, что скорость первого на 2 км/ч больше скорости второго.

Дополнительное условие можно записать в виде второго уравнения: $x = y + 2$.

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} x + y = \frac{40}{3} \\ x = y + 2 \end{cases} $$

Решим эту систему методом подстановки. Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое: $(y + 2) + y = \frac{40}{3}$

$2y + 2 = \frac{40}{3}$

$2y = \frac{40}{3} - 2$

$2y = \frac{40}{3} - \frac{6}{3} = \frac{34}{3}$

$y = \frac{34}{3 \cdot 2} = \frac{17}{3}$

Скорость второго велосипедиста: $y = 5\frac{2}{3}$ км/ч.

Теперь найдем скорость первого велосипедиста $x$, подставив значение $y$ во второе уравнение: $x = y + 2 = \frac{17}{3} + 2 = \frac{17}{3} + \frac{6}{3} = \frac{23}{3}$

Скорость первого велосипедиста: $x = 7\frac{2}{3}$ км/ч.

Ответ: Скорость первого велосипедиста $7\frac{2}{3}$ км/ч, скорость второго велосипедиста $5\frac{2}{3}$ км/ч.