Номер 590, страница 244 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 35. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 590, страница 244.

Условие.

590. Площадь прямоугольного треугольника равна $90 \text{ см}^2$. Сумма площадей квадратов, построенных на его катетах, равна $369 \text{ см}^2$. Каковы катеты этого треугольника?

Решение 3.

Решение 4.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. Согласно условию задачи, площадь равна 90 см², следовательно, мы можем составить первое уравнение:
$\frac{1}{2}ab = 90$
$ab = 180$

Площадь квадрата, построенного на катете $a$, равна $a^2$. Площадь квадрата, построенного на катете $b$, равна $b^2$. Сумма этих площадей по условию равна 369 см², что дает нам второе уравнение:
$a^2 + b^2 = 369$

Для нахождения катетов $a$ и $b$ необходимо решить систему уравнений:
$\begin{cases} ab = 180 \\ a^2 + b^2 = 369 \end{cases}$

Для решения этой системы воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$. Подставим в нее известные нам значения из системы:
$(a+b)^2 = 369 + 2 \cdot 180$
$(a+b)^2 = 369 + 360$
$(a+b)^2 = 729$
Так как $a$ и $b$ — это длины сторон треугольника, их значения положительны, поэтому и их сумма $a+b$ также положительна. Извлечем квадратный корень:
$a+b = \sqrt{729} = 27$

Теперь мы имеем более простую систему уравнений:
$\begin{cases} a+b = 27 \\ ab = 180 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$. Подставим значения суммы и произведения в это уравнение:
$t^2 - 27t + 180 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 180 = 729 - 720 = 9$
Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-(-27) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{27 + 3}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$t_2 = \frac{-(-27) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{27 - 3}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Корни уравнения $t_1=15$ и $t_2=12$ являются длинами катетов треугольника.

Ответ: катеты треугольника равны 12 см и 15 см.