Номер 596, страница 246 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 596, страница 246.

Условие.

Решить уравнение (596–598).

596.

1) $x^2 - 12 = 0$;

2) $x^2 - 50 = 0$;

3) $\frac{1}{3}x^2 + 2x = 0$;

4) $3x - \frac{2}{5}x^2 = 0$.

Решение 3.

Решение 4.

1) $x^2 - 12 = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2+c=0$. Для его решения перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x^2 = 12$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$x = \pm\sqrt{12}$

Упростим полученный корень, разложив подкоренное выражение на множители:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

Таким образом, уравнение имеет два корня:

$x_1 = 2\sqrt{3}$ и $x_2 = -2\sqrt{3}$

Ответ: $\pm2\sqrt{3}$

2) $x^2 - 50 = 0$

Это также неполное квадратное уравнение. Решим его аналогично предыдущему. Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = 50$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{50}$

Упростим корень, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

Следовательно, корни уравнения:

$x_1 = 5\sqrt{2}$ и $x_2 = -5\sqrt{2}$

Ответ: $\pm5\sqrt{2}$

3) $\frac{1}{3}x^2 + 2x = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2+bx=0$. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(\frac{1}{3}x + 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x_1 = 0$

или

$\frac{1}{3}x + 2 = 0$

Решим второе простое линейное уравнение:

$\frac{1}{3}x = -2$

Умножим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x_2 = -2 \cdot 3 = -6$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-6; 0$

4) $3x - \frac{2}{5}x^2 = 0$

Это также неполное квадратное уравнение, в котором свободный член равен нулю. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3 - \frac{2}{5}x) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$

или

$3 - \frac{2}{5}x = 0$

Решим второе уравнение:

$-\frac{2}{5}x = -3$

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$\frac{2}{5}x = 3$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на число, обратное коэффициенту при $x$, то есть на $\frac{5}{2}$:

$x_2 = 3 \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; 7.5$