Номер 589, страница 244 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 35. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 589, страница 244.

Условие.

589. Периметр прямоугольника равен 14 см, а площадь – 12 $ \text{см}^2 $.Каковы стороны прямоугольника?

Решение 3.

Решение 4.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

Согласно условиям задачи, периметр равен 14 см, а площадь — 12 см². Составим систему уравнений:
$\begin{cases} 2(a + b) = 14 \\ a \cdot b = 12 \end{cases}$

Упростим первое уравнение, разделив обе его части на 2:
$a + b = \frac{14}{2}$
$a + b = 7$

Теперь наша система уравнений выглядит так:
$\begin{cases} a + b = 7 \\ a \cdot b = 12 \end{cases}$

Мы можем решить эту систему методом подстановки. Выразим переменную $a$ из первого уравнения:
$a = 7 - b$

Теперь подставим это выражение для $a$ во второе уравнение:
$(7 - b) \cdot b = 12$
Раскроем скобки:
$7b - b^2 = 12$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$b^2 - 7b + 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета (сумма корней равна 7, произведение равно 12, значит корни — 3 и 4) или найти корни через дискриминант $D$.
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$
Корни уравнения:
$b_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$b_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Таким образом, мы нашли возможные значения для одной из сторон: 3 см и 4 см.
Если $b = 3$ см, то вторая сторона $a = 7 - 3 = 4$ см.
Если $b = 4$ см, то вторая сторона $a = 7 - 4 = 3$ см.
В обоих случаях стороны прямоугольника равны 3 см и 4 см.

Проверка:
Периметр: $P = 2(3 + 4) = 2 \cdot 7 = 14$ см.
Площадь: $S = 3 \cdot 4 = 12$ см².
Результат верный.

Ответ: стороны прямоугольника равны 3 см и 4 см.