Номер 588, страница 244 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 35. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 588, страница 244.

Условие.

588. Разность двух чисел равна 18. Сумма этих чисел, сложенная с частным от деления большего на меньшее, равна 34. Найти эти числа.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введем переменные. Пусть x — большее число, а y — меньшее число.

Согласно условию, разность двух чисел равна 18. Это дает нам первое уравнение:
$x - y = 18$

Также из условия известно, что сумма этих чисел, сложенная с частным от деления большего на меньшее, равна 34. Составим второе уравнение:
$(x + y) + \frac{x}{y} = 34$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x - y = 18 \\ (x + y) + \frac{x}{y} = 34 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим x через y:
$x = 18 + y$

Теперь подставим это выражение для x во второе уравнение системы:
$((18 + y) + y) + \frac{18 + y}{y} = 34$

Упростим полученное уравнение, раскрыв скобки и разделив дробь:
$(18 + 2y) + \frac{18}{y} + \frac{y}{y} = 34$
$18 + 2y + \frac{18}{y} + 1 = 34$
$19 + 2y + \frac{18}{y} = 34$

Перенесем 19 в правую часть:
$2y + \frac{18}{y} = 34 - 19$
$2y + \frac{18}{y} = 15$

Умножим обе части уравнения на y, чтобы избавиться от знаменателя (мы знаем, что $y \neq 0$, так как на него делят в условии):
$y \cdot (2y + \frac{18}{y}) = 15 \cdot y$
$2y^2 + 18 = 15y$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$:
$2y^2 - 15y + 18 = 0$

Решим это уравнение. Сначала найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = 225 - 144 = 81$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.

Найдем корни уравнения для y по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$y_1 = \frac{-(-15) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{15 + 9}{4} = \frac{24}{4} = 6$
$y_2 = \frac{-(-15) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{15 - 9}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$

Мы получили два возможных значения для меньшего числа. Для каждого из них найдем соответствующее значение большего числа x, используя формулу $x = 18 + y$.

1. Если меньшее число $y_1 = 6$, то большее число:
$x_1 = 18 + 6 = 24$
Проверим эту пару чисел (24 и 6):
Разность: $24 - 6 = 18$ (верно).
Сумма плюс частное: $(24 + 6) + \frac{24}{6} = 30 + 4 = 34$ (верно).

2. Если меньшее число $y_2 = 1.5$, то большее число:
$x_2 = 18 + 1.5 = 19.5$
Проверим эту пару чисел (19.5 и 1.5):
Разность: $19.5 - 1.5 = 18$ (верно).
Сумма плюс частное: $(19.5 + 1.5) + \frac{19.5}{1.5} = 21 + 13 = 34$ (верно).

Обе пары чисел удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: искомые числа — это 24 и 6, или 19.5 и 1.5.