Номер 3, страница 244 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 35. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 3, страница 244.

Условие.

3. Первая труба может наполнить весь бассейн за $x$ ч, а вторая — за $y$ ч; работая вместе, эти трубы заполняют бассейн за 7 ч.

Решение 4.

Для решения задачи о совместной работе, какой является задача о наполнении бассейна двумя трубами, используется понятие производительности (скорости выполнения работы). В данном случае работа — это наполнение одного бассейна.

Пусть объем всего бассейна равен 1.

• Первая труба наполняет бассейн за $x$ часов, следовательно, ее производительность (часть бассейна, наполняемая за 1 час) равна $P_1 = \frac{1}{x}$.
• Вторая труба наполняет бассейн за $y$ часов, ее производительность равна $P_2 = \frac{1}{y}$.
• При совместной работе производительности складываются. Общая производительность двух труб равна $P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$.
• Время, за которое две трубы наполнят бассейн, работая вместе, равно $T_{общ} = \frac{1}{P_{общ}}$. По условию, это время составляет 7 часов.

На основе этих рассуждений можно составить уравнение и выразить одну переменную через другую.

а) Составление уравнения, связывающего x и y

Исходя из того, что общее время работы равно 7 часам, мы можем записать:

$T_{общ} = \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = 7$

Из этого уравнения следует, что общая производительность равна $\frac{1}{7}$ бассейна в час. Таким образом, мы получаем основное уравнение, связывающее $x$ и $y$:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{7}$

Ответ: Уравнение, связывающее $x$ и $y$, имеет вид $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{7}$.

б) Выражение y через x

Чтобы выразить $y$ через $x$, преобразуем полученное уравнение. Сначала изолируем слагаемое с $y$:

$\frac{1}{y} = \frac{1}{7} - \frac{1}{x}$

Приведем правую часть к общему знаменателю $7x$:

$\frac{1}{y} = \frac{x - 7}{7x}$

Теперь, чтобы найти $y$, возьмем обратные величины от обеих частей уравнения ("перевернем" дроби):

$y = \frac{7x}{x - 7}$

Стоит отметить, что время $y$ должно быть положительной величиной, что накладывает условие на $x$: $x - 7 > 0$, то есть $x > 7$. Это логично, так как одна труба должна наполнять бассейн дольше, чем две трубы вместе.

Ответ: $y = \frac{7x}{x - 7}$.

в) Выражение x через y

Аналогично предыдущему пункту, выразим $x$ через $y$ из основного уравнения $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{7}$. Изолируем слагаемое с $x$:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{7} - \frac{1}{y}$

Приведем правую часть к общему знаменателю $7y$:

$\frac{1}{x} = \frac{y - 7}{7y}$

Возьмем обратные величины от обеих частей уравнения, чтобы найти $x$:

$x = \frac{7y}{y - 7}$

Здесь также действует логическое ограничение: $y - 7 > 0$, то есть $y > 7$.

Ответ: $x = \frac{7y}{y - 7}$.