Номер 592, страница 244 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 35. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 592, страница 244.

Условие.

592. Двое специалистов, работая вместе, закончили порученную им работу за 12 ч. Если бы сначала один из них выполнил половину всей работы, а другой — остальную часть, то на выполнение всей работы понадобилось бы 25 ч. За какое время каждый из них закончил бы эту работу, работая один?

Решение 3.

Решение 4.

Примем весь объем работы за 1.

Пусть $t_1$ — время (в часах), за которое первый специалист выполнит всю работу, работая один, и $t_2$ — время (в часах), за которое второй специалист выполнит всю работу один.

Тогда производительность первого специалиста равна $v_1 = \frac{1}{t_1}$ (часть работы в час), а производительность второго — $v_2 = \frac{1}{t_2}$ (часть работы в час).

Согласно первому условию, работая вместе, они заканчивают работу за 12 часов. Их совместная производительность равна $v_1 + v_2$. Составим первое уравнение:

$12 \cdot (v_1 + v_2) = 1$

Подставив выражения для производительностей, получим:

$12 \cdot (\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) = 1$

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12}$

Согласно второму условию, если сначала один из них выполнит половину работы ($\frac{1}{2}$), а затем другой — оставшуюся половину ($\frac{1}{2}$), то общее время составит 25 часов.

Время, которое потратит первый специалист на выполнение половины работы, равно $\frac{\text{объем работы}}{\text{производительность}} = \frac{1/2}{1/t_1} = \frac{t_1}{2}$ часов.

Время, которое потратит второй специалист на выполнение второй половины работы, равно $\frac{1/2}{1/t_2} = \frac{t_2}{2}$ часов.

Суммарное время равно 25 часам, что дает нам второе уравнение:

$\frac{t_1}{2} + \frac{t_2}{2} = 25$

$t_1 + t_2 = 50$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12} \\ t_1 + t_2 = 50 \end{cases}$

Преобразуем первое уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{t_2 + t_1}{t_1 \cdot t_2} = \frac{1}{12}$

Из второго уравнения мы знаем, что $t_1 + t_2 = 50$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$\frac{50}{t_1 \cdot t_2} = \frac{1}{12}$

Отсюда находим произведение $t_1 \cdot t_2$:

$t_1 \cdot t_2 = 50 \cdot 12 = 600$

Теперь система уравнений выглядит так:

$\begin{cases} t_1 + t_2 = 50 \\ t_1 \cdot t_2 = 600 \end{cases}$

Эта система решается с помощью теоремы Виета. Значения $t_1$ и $t_2$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (t_1 + t_2)x + t_1 \cdot t_2 = 0$. Подставим наши значения:

$x^2 - 50x + 600 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 2500 - 2400 = 100$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 + \sqrt{100}}{2} = \frac{50 + 10}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 - \sqrt{100}}{2} = \frac{50 - 10}{2} = \frac{40}{2} = 20$

Таким образом, время выполнения работы для каждого специалиста в отдельности составляет 20 часов и 30 часов.

Ответ: один специалист закончит работу за 20 часов, а другой — за 30 часов.