Номер 593, страница 244 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 35. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 593, страница 244.

Условие.

593. В зрительном зале клуба было 320 мест. После ремонта число мест в каждом ряду увеличили на 4 и, кроме того, в зале добавили ещё один ряд. Сколько стало рядов в этом зале, если после ремонта стало 420 мест?

Решение 3.

Решение 4.

Решение:

Для решения задачи введем переменные, описывающие состояние зрительного зала до и после ремонта.

Пусть $r_1$ — это первоначальное количество рядов в зале, а $s_1$ — первоначальное количество мест в каждом ряду. По условию, всего было 320 мест, что можно записать в виде уравнения:

$r_1 \cdot s_1 = 320$

После ремонта количество рядов увеличилось на 1, а количество мест в каждом ряду — на 4. Обозначим новые значения как $r_2$ (количество рядов после ремонта) и $s_2$ (количество мест в ряду после ремонта).

$r_2 = r_1 + 1$

$s_2 = s_1 + 4$

Общее число мест после ремонта стало 420. Это дает нам второе уравнение:

$r_2 \cdot s_2 = 420$

Подставим выражения для $r_2$ и $s_2$ в это уравнение:

$(r_1 + 1)(s_1 + 4) = 420$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$r_1 s_1 + 4r_1 + s_1 + 4 = 420$

Из первого уравнения мы знаем, что $r_1 s_1 = 320$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$320 + 4r_1 + s_1 + 4 = 420$

Приведем подобные слагаемые:

$4r_1 + s_1 + 324 = 420$

Выразим сумму $4r_1 + s_1$:

$4r_1 + s_1 = 420 - 324$

$4r_1 + s_1 = 96$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными $r_1$ и $s_1$:

$\begin{cases} r_1 \cdot s_1 = 320 \\ 4r_1 + s_1 = 96 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $s_1$ через $r_1$:

$s_1 = 96 - 4r_1$

Подставим это выражение для $s_1$ в первое уравнение системы:

$r_1(96 - 4r_1) = 320$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение относительно $r_1$:

$96r_1 - 4r_1^2 = 320$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и упорядочим их:

$4r_1^2 - 96r_1 + 320 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 4:

$r_1^2 - 24r_1 + 80 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или разложение на множители. Найдем два числа, произведение которых равно 80, а сумма — 24. Это числа 20 и 4. Тогда уравнение можно записать в виде:

$(r_1 - 20)(r_1 - 4) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для первоначального количества рядов $r_1$:

$r_1 = 20$ или $r_1 = 4$.

В задаче спрашивается, сколько рядов стало в зале после ремонта, то есть нам нужно найти $r_2 = r_1 + 1$. Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1. Если изначально было $r_1 = 4$ ряда.

Тогда после ремонта стало $r_2 = 4 + 1 = 5$ рядов. Проверим этот вариант. Если $r_1 = 4$, то $s_1 = 320 / 4 = 80$ мест в ряду. После ремонта: $r_2 = 5$ рядов, $s_2 = 80 + 4 = 84$ места в ряду. Общее число мест: $r_2 \cdot s_2 = 5 \cdot 84 = 420$. Это соответствует условию задачи.

Случай 2. Если изначально было $r_1 = 20$ рядов.

Тогда после ремонта стало $r_2 = 20 + 1 = 21$ ряд. Проверим этот вариант. Если $r_1 = 20$, то $s_1 = 320 / 20 = 16$ мест в ряду. После ремонта: $r_2 = 21$ ряд, $s_2 = 16 + 4 = 20$ мест в ряду. Общее число мест: $r_2 \cdot s_2 = 21 \cdot 20 = 420$. Это также соответствует условию задачи.

Оба варианта являются математически верными решениями. Таким образом, у задачи есть два возможных ответа.

Ответ: в зале стало 5 рядов или 21 ряд.