Номер 595, страница 245 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 35. Решение задач с помощью систем уравнений. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 595, страница 245.

Условие.

595. Три коневодческие фермы сделали равные запасы овса, необходимого для подкормки лошадей. Первой ферме этого запаса овса хватает на 105 дней. Второй ферме, имеющей на 10 лошадей больше первой, запаса овса хватит на 100 дней, если дневную норму овса для каждой лошади уменьшить на 1 кг. На столько же дней хватит овса третьей ферме, где лошадей на 10 меньше, чем на первой, но дневная норма овса на 3 кг больше, чем на первой. Сколько лошадей на каждой ферме и какова суточная норма овса для каждой из них?

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — количество лошадей на первой ферме, а $y$ — суточная норма овса на одну лошадь на первой ферме (в кг). Поскольку три фермы сделали равные запасы овса, обозначим этот общий запас как $Z$.

Общий запас овса можно вычислить по формуле: $Z = (\text{количество лошадей}) \cdot (\text{суточная норма}) \cdot (\text{количество дней})$.

Составим систему уравнений на основе данных для каждой фермы:

1. Для первой фермы: запас овса рассчитан на 105 дней.
$Z = x \cdot y \cdot 105$

2. Для второй фермы: лошадей на 10 больше ($x+10$), норма на 1 кг меньше ($y-1$), а запаса хватает на 100 дней.
$Z = (x + 10)(y - 1) \cdot 100$

3. Для третьей фермы: лошадей на 10 меньше ($x-10$), норма на 3 кг больше ($y+3$), а запаса хватает на столько же дней, что и второй, то есть на 100 дней.
$Z = (x - 10)(y + 3) \cdot 100$

Поскольку запасы $Z$ равны, мы можем приравнять выражения для второй и третьей ферм, чтобы найти связь между $x$ и $y$:

$(x + 10)(y - 1) \cdot 100 = (x - 10)(y + 3) \cdot 100$

Сократим обе части уравнения на 100 и раскроем скобки:

$xy - x + 10y - 10 = xy + 3x - 10y - 30$

Приведем подобные слагаемые, перенеся переменные в одну сторону, а числа в другую:

$10y + 10y + 30 - 10 = 3x + x$

$20y + 20 = 4x$

Разделим обе части на 4:

$5y + 5 = x$

Теперь у нас есть выражение для $x$ через $y$. Подставим его в уравнение, полученное из равенства запасов первой и второй ферм:

$105xy = 100(x + 10)(y - 1)$

Подставим $x = 5y + 5$:

$105(5y + 5)y = 100((5y + 5) + 10)(y - 1)$

$105(5y^2 + 5y) = 100(5y + 15)(y - 1)$

Раскроем скобки:

$525y^2 + 525y = 100(5y^2 - 5y + 15y - 15)$

$525y^2 + 525y = 100(5y^2 + 10y - 15)$

$525y^2 + 525y = 500y^2 + 1000y - 1500$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$(525 - 500)y^2 + (525 - 1000)y + 1500 = 0$

$25y^2 - 475y + 1500 = 0$

Разделим все уравнение на 25 для упрощения:

$y^2 - 19y + 60 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 19, а их произведение равно 60. Этим условиям удовлетворяют числа 4 и 15.

$y_1 = 4$ и $y_2 = 15$.

Оба корня положительные, поэтому задача имеет два возможных решения. Найдем соответствующие значения $x$ для каждого случая и определим параметры для всех трех ферм.

Случай 1: $y = 4$

Если суточная норма на первой ферме $y = 4$ кг, то количество лошадей на ней:
$x = 5y + 5 = 5 \cdot 4 + 5 = 25$ лошадей.

• Первая ферма: 25 лошадей, норма 4 кг/день.
• Вторая ферма: $25+10=35$ лошадей, норма $4-1=3$ кг/день.
• Третья ферма: $25-10=15$ лошадей, норма $4+3=7$ кг/день.

Случай 2: $y = 15$

Если суточная норма на первой ферме $y = 15$ кг, то количество лошадей на ней:
$x = 5y + 5 = 5 \cdot 15 + 5 = 80$ лошадей.

• Первая ферма: 80 лошадей, норма 15 кг/день.
• Вторая ферма: $80+10=90$ лошадей, норма $15-1=14$ кг/день.
• Третья ферма: $80-10=70$ лошадей, норма $15+3=18$ кг/день.

Ответ:

Задача имеет два возможных набора решений.

Вариант 1:
• На первой ферме — 25 лошадей, суточная норма — 4 кг.
• На второй ферме — 35 лошадей, суточная норма — 3 кг.
• На третьей ферме — 15 лошадей, суточная норма — 7 кг.

Вариант 2:
• На первой ферме — 80 лошадей, суточная норма — 15 кг.
• На второй ферме — 90 лошадей, суточная норма — 14 кг.
• На третьей ферме — 70 лошадей, суточная норма — 18 кг.