Номер 601, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 601, страница 247.

Условие.

601. Сократить дробь:

1) $ \frac{x^2 - 9}{x+3}; $

2) $ \frac{x^3 + 4x^2 + 4x}{x+2}; $

3) $ \frac{16x^2 - 24x + 9}{4x^2 + 5x - 6}; $

4) $ \frac{25x^2 + 10x + 1}{5x^2 - 14x - 3}. $

Решение 3.

Решение 4.

1)

Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 9}{x + 3}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить общие.

Числитель $x^2 - 9$ является разностью квадратов. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$.

Подставим разложенный числитель обратно в дробь: $\frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3}$.

Теперь можно сократить общий множитель $(x + 3)$ в числителе и знаменателе, при условии, что $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.

После сокращения получаем $x - 3$.

Ответ: $x-3$

2)

Чтобы сократить дробь $\frac{x^3 + 4x^2 + 4x}{x + 2}$, разложим числитель на множители.

Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x^3 + 4x^2 + 4x = x(x^2 + 4x + 4)$.

Выражение в скобках $x^2 + 4x + 4$ является полным квадратом суммы. Применим формулу $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$.

Таким образом, числитель равен $x(x + 2)^2$. Подставим его в дробь: $\frac{x(x + 2)^2}{x + 2}$.

Сократим общий множитель $(x + 2)$, при условии, что $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.

После сокращения получаем $x(x + 2)$.

Ответ: $x(x+2)$

3)

Чтобы сократить дробь $\frac{16x^2 - 24x + 9}{4x^2 + 5x - 6}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $16x^2 - 24x + 9$ является полным квадратом разности. Применим формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $16x^2 - 24x + 9 = (4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot 3 + 3^2 = (4x - 3)^2$.

Знаменатель $4x^2 + 5x - 6$ является квадратным трехчленом. Разложим его на множители, найдя корни уравнения $4x^2 + 5x - 6 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121 = 11^2$. Найдем корни: $x_1 = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 4} = \frac{-16}{8} = -2$; $x_2 = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$. Разложение на множители имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$: $4x^2 + 5x - 6 = 4(x - (-2))(x - \frac{3}{4}) = 4(x+2)(x-\frac{3}{4}) = (x+2)(4x-3)$.

Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{(4x - 3)^2}{(x + 2)(4x - 3)}$.

Сократим общий множитель $(4x - 3)$, при условии, что $4x - 3 \neq 0$ ($x \neq \frac{3}{4}$) и $x+2 \neq 0$ ($x \neq -2$).

В результате получаем $\frac{4x - 3}{x + 2}$.

Ответ: $\frac{4x - 3}{x + 2}$

4)

Чтобы сократить дробь $\frac{25x^2 + 10x + 1}{5x^2 - 14x - 3}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $25x^2 + 10x + 1$ является полным квадратом суммы. Применим формулу $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $25x^2 + 10x + 1 = (5x)^2 + 2 \cdot (5x) \cdot 1 + 1^2 = (5x + 1)^2$.

Знаменатель $5x^2 - 14x - 3$ является квадратным трехчленом. Разложим его на множители, найдя корни уравнения $5x^2 - 14x - 3 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 196 + 60 = 256 = 16^2$. Найдем корни: $x_1 = \frac{14 - 16}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$; $x_2 = \frac{14 + 16}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$. Разложение на множители: $5x^2 - 14x - 3 = 5(x - (-\frac{1}{5}))(x - 3) = 5(x+\frac{1}{5})(x-3) = (5x+1)(x-3)$.

Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{(5x + 1)^2}{(5x + 1)(x - 3)}$.

Сократим общий множитель $(5x + 1)$, при условии, что $5x + 1 \neq 0$ ($x \neq -\frac{1}{5}$) и $x - 3 \neq 0$ ($x \neq 3$).

В результате получаем $\frac{5x + 1}{x - 3}$.

Ответ: $\frac{5x + 1}{x - 3}$