Номер 604, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 604, страница 247.

Условие.

604. Найти два числа, сумма которых равна 3, а сумма их квадратов равна 5.

Решение 3.

Решение 4.

Обозначим искомые числа через $x$ и $y$.

Исходя из условий задачи, составим систему двух уравнений с двумя переменными:

1. Сумма чисел равна 3: $x + y = 3$

2. Сумма их квадратов равна 5: $x^2 + y^2 = 5$

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$:

$y = 3 - x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$x^2 + (3 - x)^2 = 5$

Раскроем скобки, применив формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + (3^2 - 2 \cdot 3 \cdot x + x^2) = 5$

$x^2 + 9 - 6x + x^2 = 5$

Приведем подобные слагаемые и преобразуем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - 6x + 9 - 5 = 0$

$2x^2 - 6x + 4 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2 для его упрощения:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим полученное приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 3$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 2$. Методом подбора находим корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = 2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого из найденных корней $x$:

Если $x = 1$, то $y = 3 - 1 = 2$.

Если $x = 2$, то $y = 3 - 2 = 1$.

В обоих случаях мы получили одну и ту же пару чисел: 1 и 2.

Выполним проверку:

Сумма чисел: $1 + 2 = 3$ (верно).

Сумма их квадратов: $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$ (верно).

Ответ: 1 и 2.