Номер 611, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 611, страница 247.

Условие.

611. Разность двух натуральных чисел относится к их произведению как $1:24$, а сумма этих чисел относится к их разности как $5:1$. Найти эти числа.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть искомые натуральные числа — это $a$ и $b$. Поскольку речь идет о разности, предположим, что $a > b$.

Согласно условиям задачи, мы можем составить систему из двух уравнений.

Первое условие: разность двух чисел относится к их произведению как $1:24$.

$$ \frac{a-b}{ab} = \frac{1}{24} $$

Второе условие: сумма этих чисел относится к их разности как $5:1$.

$$ \frac{a+b}{a-b} = \frac{5}{1} $$

Начнем решение системы со второго уравнения, так как оно проще и позволяет установить связь между переменными.

$$ \frac{a+b}{a-b} = 5 $$

Умножим обе части уравнения на $(a-b)$:

$$ a+b = 5(a-b) $$ $$ a+b = 5a - 5b $$

Сгруппируем слагаемые с $a$ в правой части, а с $b$ — в левой:

$$ b + 5b = 5a - a $$ $$ 6b = 4a $$

Разделим обе части на 2, чтобы упростить соотношение:

$$ 3b = 2a $$

Из этого соотношения выразим $a$ через $b$:

$$ a = \frac{3}{2}b $$

Теперь подставим полученное выражение для $a$ в первое уравнение системы:

$$ \frac{\frac{3}{2}b - b}{(\frac{3}{2}b) \cdot b} = \frac{1}{24} $$

Упростим выражение в левой части. В числителе: $\frac{3}{2}b - b = \frac{1}{2}b$. В знаменателе: $(\frac{3}{2}b) \cdot b = \frac{3}{2}b^2$.

$$ \frac{\frac{1}{2}b}{\frac{3}{2}b^2} = \frac{1}{24} $$

Поскольку $b$ — натуральное число, то $b \ne 0$. Мы можем сократить дробь:

$$ \frac{1 \cdot b \cdot 2}{2 \cdot 3 \cdot b^2} = \frac{1}{3b} $$

Теперь уравнение выглядит так:

$$ \frac{1}{3b} = \frac{1}{24} $$

Отсюда следует, что знаменатели равны:

$$ 3b = 24 $$ $$ b = \frac{24}{3} = 8 $$

Мы нашли одно из чисел. Теперь найдем второе число $a$, используя соотношение $a = \frac{3}{2}b$:

$$ a = \frac{3}{2} \cdot 8 = 3 \cdot 4 = 12 $$

Итак, искомые числа — это 12 и 8.

Выполним проверку:
1. Отношение разности к произведению: $\frac{12-8}{12 \cdot 8} = \frac{4}{96} = \frac{1}{24}$. Условие выполняется.
2. Отношение суммы к разности: $\frac{12+8}{12-8} = \frac{20}{4} = 5 = \frac{5}{1}$. Условие выполняется.

Ответ: 8 и 12.