Номер 615, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 615, страница 248.

Условие.

615. 1) $(x-5)(x-6)=30$;

2) $(x+2)(x+3)=6$;

3) $(x-1)(x-4)=3x$;

4) $(x-2)(x+8)=6x$.

Решение 3.

Решение 4.

1) $(x-5)(x-6)=30$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 - 6x - 5x + 30 = 30$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 11x + 30 = 30$

Перенесем 30 из правой части в левую:

$x^2 - 11x + 30 - 30 = 0$

$x^2 - 11x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x-11) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x-11=0$

$x_2 = 11$

Ответ: $0; 11$.

2) $(x+2)(x+3)=6$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 + 3x + 2x + 6 = 6$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 5x + 6 = 6$

Перенесем 6 из правой части в левую:

$x^2 + 5x + 6 - 6 = 0$

$x^2 + 5x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x+5) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $x+5=0$

$x_2 = -5$

Ответ: $-5; 0$.

3) $(x-1)(x-4)=3x$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 - 4x - x + 4 = 3x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^2 - 5x + 4 = 3x$

Перенесем $3x$ из правой части в левую, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 5x - 3x + 4 = 0$

$x^2 - 8x + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

Здесь $a=1, b=-8, c=4$.

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 64 - 16 = 48$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$

$x = \frac{-(-8) \pm 4\sqrt{3}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2}$

Разделим числитель на 2:

$x_1 = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{2} = 4 + 2\sqrt{3}$

$x_2 = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{2} = 4 - 2\sqrt{3}$

Ответ: $4 - 2\sqrt{3}; 4 + 2\sqrt{3}$.

4) $(x-2)(x+8)=6x$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 + 8x - 2x - 16 = 6x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$x^2 + 6x - 16 = 6x$

Перенесем $6x$ из правой части в левую:

$x^2 + 6x - 6x - 16 = 0$

$x^2 - 16 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем 16 в правую часть:

$x^2 = 16$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{16}$

$x_1 = 4$, $x_2 = -4$

Ответ: $-4; 4$.