Номер 622, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 622, страница 249.

Условие.

622. Мастерская в определённый срок должна выпустить 5400 пар обуви. Фактически она выпускала в день на 30 пар больше, чем предполагалось, и выполнила заказ на 9 дней раньше срока. За сколько дней был выполнен заказ?

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это количество дней, за которое мастерская фактически выполнила заказ.

По условию, заказ был выполнен на 9 дней раньше запланированного срока. Следовательно, плановое количество дней для выполнения заказа составляет $x + 9$ дней.

Общий объем заказа — 5400 пар обуви.

Теперь выразим фактическую и плановую производительность (количество пар обуви, выпускаемых в день):

Фактическая производительность: $\frac{5400}{x}$ пар в день.

Плановая производительность: $\frac{5400}{x+9}$ пар в день.

Известно, что фактически мастерская выпускала в день на 30 пар больше, чем предполагалось по плану. На основании этого составим уравнение:

$\frac{5400}{x} - \frac{5400}{x+9} = 30$

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 30:

$\frac{180}{x} - \frac{180}{x+9} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+9)$:

$\frac{180(x+9) - 180x}{x(x+9)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{180x + 1620 - 180x}{x^2 + 9x} = 1$

$\frac{1620}{x^2 + 9x} = 1$

Используя свойство пропорции, получаем:

$x^2 + 9x = 1620$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 9x - 1620 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1620) = 81 + 6480 = 6561$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{6561} = 81$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-9 + 81}{2 \cdot 1} = \frac{72}{2} = 36$

$x_2 = \frac{-9 - 81}{2 \cdot 1} = \frac{-90}{2} = -45$

Поскольку $x$ представляет собой количество дней, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, единственным подходящим решением является $x = 36$.

Таким образом, заказ был выполнен за 36 дней.

Ответ: 36 дней.