Страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

620. Решить уравнение:

1) $ \frac{12x + 4}{x^2 + 2x - 3} = \frac{3x - 2}{x - 1} - \frac{2x + 3}{x + 3} $

2) $ \frac{5}{x^2 - 4} - \frac{8}{x^2 - 1} = \frac{2}{x^2 - 3x + 2} - \frac{20}{x^2 + 3x + 2} $

1) $\frac{12x + 4}{x^2 + 2x - 3} = \frac{3x - 2}{x - 1} - \frac{2x + 3}{x + 3}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю. Разложим знаменатель левой части на множители: $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Таким образом, $x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)$.

ОДЗ определяется условиями: $x-1 \neq 0$ и $x+3 \neq 0$. Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq -3$.

Перепишем уравнение с разложенным на множители знаменателем:

$\frac{12x + 4}{(x-1)(x+3)} = \frac{3x - 2}{x - 1} - \frac{2x + 3}{x + 3}$

Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю $(x-1)(x+3)$:

$\frac{12x + 4}{(x-1)(x+3)} = \frac{(3x - 2)(x+3) - (2x + 3)(x-1)}{(x-1)(x+3)}$

Так как знаменатели равны и не обращаются в ноль в ОДЗ, мы можем приравнять числители:

$12x + 4 = (3x - 2)(x+3) - (2x + 3)(x-1)$

Раскроем скобки в правой части:

$12x + 4 = (3x^2 + 9x - 2x - 6) - (2x^2 - 2x + 3x - 3)$

$12x + 4 = (3x^2 + 7x - 6) - (2x^2 + x - 3)$

$12x + 4 = 3x^2 + 7x - 6 - 2x^2 - x + 3$

$12x + 4 = x^2 + 6x - 3$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 6x - 3 - 12x - 4 = 0$

$x^2 - 6x - 7 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $6$, а их произведение равно $-7$. Корни уравнения: $x_1 = 7$, $x_2 = -1$.

Оба корня, $7$ и $-1$, принадлежат ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -3$).

Ответ: $-1; 7$.

2) $\frac{5}{x^2 - 4} - \frac{8}{x^2 - 1} = \frac{2}{x^2 - 3x + 2} - \frac{20}{x^2 + 3x + 2}$

Разложим все знаменатели на множители, чтобы найти ОДЗ и упростить уравнение:

$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$

$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x \neq \pm 1$ и $x \neq \pm 2$.

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$\frac{5}{(x-2)(x+2)} - \frac{8}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{(x-1)(x-2)} - \frac{20}{(x+1)(x+2)}$

Сгруппируем слагаемые с похожими множителями в знаменателях, перенеся их в разные части уравнения для удобства:

$\frac{5}{(x-2)(x+2)} + \frac{20}{(x+1)(x+2)} = \frac{2}{(x-1)(x-2)} + \frac{8}{(x-1)(x+1)}$

Приведем к общему знаменателю левую и правую части уравнения по отдельности.

Левая часть: $\frac{5(x+1) + 20(x-2)}{(x-2)(x+2)(x+1)} = \frac{5x+5+20x-40}{(x-2)(x+2)(x+1)} = \frac{25x-35}{(x-2)(x+2)(x+1)}$

Правая часть: $\frac{2(x+1) + 8(x-2)}{(x-1)(x-2)(x+1)} = \frac{2x+2+8x-16}{(x-1)(x-2)(x+1)} = \frac{10x-14}{(x-1)(x-2)(x+1)}$

Теперь уравнение имеет вид:

$\frac{25x-35}{(x-2)(x+2)(x+1)} = \frac{10x-14}{(x-1)(x-2)(x+1)}$

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю $(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$:

$\frac{(25x-35)(x-1) - (10x-14)(x+2)}{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ).

$(25x-35)(x-1) - (10x-14)(x+2) = 0$

Вынесем общие множители из выражений в скобках:

$5(5x-7)(x-1) - 2(5x-7)(x+2) = 0$

Вынесем общий множитель $(5x-7)$ за скобки:

$(5x-7) \cdot [5(x-1) - 2(x+2)] = 0$

$(5x-7) \cdot (5x-5-2x-4) = 0$

$(5x-7)(3x-9) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $5x - 7 = 0 \implies 5x = 7 \implies x = \frac{7}{5} = 1,4$

2) $3x - 9 = 0 \implies 3x = 9 \implies x = 3$

Оба корня, $1,4$ и $3$, принадлежат ОДЗ ($x \neq \pm 1$ и $x \neq \pm 2$).

Ответ: $1,4; 3$.

621. В зрительном зале клуба было 270 мест. После того как число мест в каждом ряду увеличили на 5 и добавили ещё один ряд, в зрительном зале стало 380 мест. Сколько стало рядов в зрительном зале клуба?

Для решения задачи введем переменные:

Пусть $r$ — это первоначальное количество рядов в зрительном зале.

Пусть $s$ — это первоначальное количество мест в каждом ряду.

Исходя из условия, что всего в зале было 270 мест, составим первое уравнение:

$r \cdot s = 270$

После изменений количество рядов стало $r + 1$, а количество мест в каждом ряду — $s + 5$. Общее число мест стало 380. Составим второе уравнение:

$(r + 1)(s + 5) = 380$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Решим её.

Из первого уравнения выразим переменную $s$ через $r$:

$s = \frac{270}{r}$

Подставим это выражение для $s$ во второе уравнение:

$(r + 1)\left(\frac{270}{r} + 5\right) = 380$

Раскроем скобки в левой части:

$r \cdot \frac{270}{r} + r \cdot 5 + 1 \cdot \frac{270}{r} + 1 \cdot 5 = 380$

$270 + 5r + \frac{270}{r} + 5 = 380$

Сгруппируем и упростим:

$5r + \frac{270}{r} + 275 = 380$

Вычтем 275 из обеих частей уравнения:

$5r + \frac{270}{r} = 105$

Умножим обе части уравнения на $r$, чтобы избавиться от знаменателя (количество рядов $r$ не может быть равно нулю):

$5r^2 + 270 = 105r$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$5r^2 - 105r + 270 = 0$

Для удобства вычислений разделим все члены уравнения на 5:

$r^2 - 21r + 54 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 21, а их произведение равно 54. Методом подбора находим корни: $r_1 = 3$ и $r_2 = 18$.

Оба корня являются положительными целыми числами, поэтому необходимо проверить оба варианта.

Случай 1: Первоначальное количество рядов $r = 3$.

Тогда первоначальное количество мест в ряду: $s = \frac{270}{3} = 90$.

Новое количество рядов: $r + 1 = 3 + 1 = 4$.

Новое количество мест в ряду: $s + 5 = 90 + 5 = 95$.

Проверка: $4 \cdot 95 = 380$. Условие выполняется.

Случай 2: Первоначальное количество рядов $r = 18$.

Тогда первоначальное количество мест в ряду: $s = \frac{270}{18} = 15$.

Новое количество рядов: $r + 1 = 18 + 1 = 19$.

Новое количество мест в ряду: $s + 5 = 15 + 5 = 20$.

Проверка: $19 \cdot 20 = 380$. Условие также выполняется.

Так как оба варианта удовлетворяют всем условиям задачи, существует два возможных ответа на вопрос "Сколько стало рядов в зрительном зале клуба?".

Ответ: В зрительном зале стало 4 ряда или 19 рядов.

622. Мастерская в определённый срок должна выпустить 5400 пар обуви. Фактически она выпускала в день на 30 пар больше, чем предполагалось, и выполнила заказ на 9 дней раньше срока. За сколько дней был выполнен заказ?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это количество дней, за которое мастерская фактически выполнила заказ.

По условию, заказ был выполнен на 9 дней раньше запланированного срока. Следовательно, плановое количество дней для выполнения заказа составляет $x + 9$ дней.

Общий объем заказа — 5400 пар обуви.

Теперь выразим фактическую и плановую производительность (количество пар обуви, выпускаемых в день):

Фактическая производительность: $\frac{5400}{x}$ пар в день.

Плановая производительность: $\frac{5400}{x+9}$ пар в день.

Известно, что фактически мастерская выпускала в день на 30 пар больше, чем предполагалось по плану. На основании этого составим уравнение:

$\frac{5400}{x} - \frac{5400}{x+9} = 30$

Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на 30:

$\frac{180}{x} - \frac{180}{x+9} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+9)$:

$\frac{180(x+9) - 180x}{x(x+9)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{180x + 1620 - 180x}{x^2 + 9x} = 1$

$\frac{1620}{x^2 + 9x} = 1$

Используя свойство пропорции, получаем:

$x^2 + 9x = 1620$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 9x - 1620 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1620) = 81 + 6480 = 6561$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{6561} = 81$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-9 + 81}{2 \cdot 1} = \frac{72}{2} = 36$

$x_2 = \frac{-9 - 81}{2 \cdot 1} = \frac{-90}{2} = -45$

Поскольку $x$ представляет собой количество дней, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, единственным подходящим решением является $x = 36$.

Таким образом, заказ был выполнен за 36 дней.

Ответ: 36 дней.

623. Два туриста выехали одновременно на велосипедах из села $A$ и направились разными дорогами в село $B$. Первый должен был проехать 30 км, а второй — 20 км. Скорость движения первого туриста была на 3 $ \text{км/ч} $ больше скорости второго. Однако второй турист прибыл в $B$ на 20 мин раньше первого. Сколько времени был в дороге каждый турист?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — скорость второго туриста. Согласно условию, скорость первого туриста была на 3 км/ч больше, следовательно, его скорость равна $(x+3)$ км/ч.

Первый турист должен был проехать расстояние $S_1 = 30$ км, а второй — $S_2 = 20$ км. Время, которое каждый турист был в пути, можно выразить через скорость, используя формулу $t = \frac{S}{v}$:

• Время первого туриста: $t_1 = \frac{30}{x+3}$ часов.
• Время второго туриста: $t_2 = \frac{20}{x}$ часов.

Известно, что второй турист прибыл в пункт В на 20 минут раньше первого. Переведем 20 минут в часы: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ часа} = \frac{1}{3} \text{ часа}$.

Это означает, что время первого туриста на $\frac{1}{3}$ часа больше времени второго. Составим и решим уравнение:

$t_1 - t_2 = \frac{1}{3}$

$\frac{30}{x+3} - \frac{20}{x} = \frac{1}{3}$

Чтобы решить уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+3)$:

$\frac{30x - 20(x+3)}{x(x+3)} = \frac{1}{3}$

$\frac{30x - 20x - 60}{x^2 + 3x} = \frac{1}{3}$

$\frac{10x - 60}{x^2 + 3x} = \frac{1}{3}$

Используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$3(10x - 60) = 1(x^2 + 3x)$

$30x - 180 = x^2 + 3x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 3x - 30x + 180 = 0$

$x^2 - 27x + 180 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 180 = 729 - 720 = 9$

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня, которые мы найдем по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{27 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{27 + 3}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{27 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{27 - 3}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Оба корня положительны, поэтому оба могут являться скоростью второго туриста. Рассмотрим оба случая.

Случай 1

Скорость второго туриста $x = 12$ км/ч. Тогда скорость первого туриста составляет $12 + 3 = 15$ км/ч. Найдем время в пути для каждого:

Время первого туриста: $t_1 = \frac{30 \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = 2$ часа.

Время второго туриста: $t_2 = \frac{20 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = \frac{5}{3}$ часа. Это равно $1 \frac{2}{3}$ часа, или 1 час и 40 минут.

Проверим разницу во времени: $2 \text{ часа} - 1 \text{ час } 40 \text{ минут} = 20 \text{ минут}$. Это решение удовлетворяет условию задачи.

Случай 2

Скорость второго туриста $x = 15$ км/ч. Тогда скорость первого туриста составляет $15 + 3 = 18$ км/ч. Найдем время в пути для каждого:

Время первого туриста: $t_1 = \frac{30 \text{ км}}{18 \text{ км/ч}} = \frac{5}{3}$ часа. Это равно $1 \frac{2}{3}$ часа, или 1 час и 40 минут.

Время второго туриста: $t_2 = \frac{20 \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = \frac{4}{3}$ часа. Это равно $1 \frac{1}{3}$ часа, или 1 час и 20 минут.

Проверим разницу во времени: $1 \text{ час } 40 \text{ минут} - 1 \text{ час } 20 \text{ минут} = 20 \text{ минут}$. Это решение также удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: Существует два возможных варианта:
1) первый турист был в дороге 2 часа, а второй — 1 час 40 минут;
2) первый турист был в дороге 1 час 40 минут, а второй — 1 час 20 минут.

624. Две бригады рабочих закончили ремонт участка дороги за 4 ч. Если бы сначала одна из них отремонтировала половину всего участка, а затем другая — оставшуюся часть, то весь ремонт был бы закончен за 9 ч. За сколько времени каждая бригада в отдельности могла бы отремонтировать весь участок?

Обозначим за $t_1$ и $t_2$ время в часах, за которое первая и вторая бригады соответственно могут отремонтировать весь участок, работая по отдельности.

Тогда производительность (скорость работы) первой бригады составляет $\frac{1}{t_1}$ участка в час, а производительность второй бригады — $\frac{1}{t_2}$ участка в час.

Согласно первому условию, работая вместе, две бригады закончили ремонт за 4 часа. Их совместная производительность равна $(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2})$. За 4 часа они выполнили всю работу (1 участок). Это можно записать в виде уравнения:
$(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) \cdot 4 = 1$
$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{4}$

Согласно второму условию, если одна бригада отремонтирует половину участка, а затем другая — оставшуюся половину, то вся работа займет 9 часов.
Время, которое первая бригада потратит на половину участка ($\frac{1}{2}$ работы), равно $\frac{t_1}{2}$ часов.
Время, которое вторая бригада потратит на вторую половину участка, равно $\frac{t_2}{2}$ часов.
Суммарное время составляет 9 часов, что дает нам второе уравнение:
$\frac{t_1}{2} + \frac{t_2}{2} = 9$
Умножив обе части на 2, получим:
$t_1 + t_2 = 18$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{4} \\ t_1 + t_2 = 18 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $t_2$:
$t_2 = 18 - t_1$

Подставим это выражение в первое уравнение:
$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{18 - t_1} = \frac{1}{4}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{(18 - t_1) + t_1}{t_1(18 - t_1)} = \frac{1}{4}$
$\frac{18}{18t_1 - t_1^2} = \frac{1}{4}$

По свойству пропорции (перекрестное умножение) получаем:
$18 \cdot 4 = 1 \cdot (18t_1 - t_1^2)$
$72 = 18t_1 - t_1^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$t_1^2 - 18t_1 + 72 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Воспользуемся формулой с дискриминантом:
$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 324 - 288 = 36$
Корни уравнения:
$t_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 + \sqrt{36}}{2} = \frac{18 + 6}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$t_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 - \sqrt{36}}{2} = \frac{18 - 6}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Мы получили два возможных значения для времени работы одной из бригад. Найдем соответствующие значения для второй бригады из уравнения $t_2 = 18 - t_1$:
1. Если $t_1 = 12$ часов, то $t_2 = 18 - 12 = 6$ часов.
2. Если $t_1 = 6$ часов, то $t_2 = 18 - 6 = 12$ часов.

В обоих случаях мы получаем, что время работы одной бригады составляет 6 часов, а другой — 12 часов.

Проверка:
Пусть первая бригада работает 6 часов, а вторая 12 часов.
1. Совместная работа: производительность $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ участка/час. Время на весь участок: $1 / (\frac{1}{4}) = 4$ часа. Это соответствует условию.
2. Последовательная работа: первая бригада делает половину за $\frac{6}{2}=3$ часа, вторая делает вторую половину за $\frac{12}{2}=6$ часов. Общее время: $3 + 6 = 9$ часов. Это также соответствует условию.

Ответ: одна бригада могла бы отремонтировать весь участок за 6 часов, а другая — за 12 часов.

625. Поезд должен пройти $54 \text{ км}$. Пройдя $14 \text{ км}$, он был задержан у семафора на $10 \text{ мин}$. Увеличив скорость после этого на $10 \text{ км/ч}$, он прибыл на место назначения с опозданием на $2 \text{ мин}$. Определить первоначальную скорость поезда.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость поезда.

Весь путь составляет 54 км. После того как поезд проехал 14 км, ему осталось проехать $S_{ост} = 54 - 14 = 40$ км.

Поезд был задержан на 10 минут, но прибыл с опозданием всего на 2 минуты. Это означает, что на оставшемся участке пути он наверстал $10 - 2 = 8$ минут.

Переведем 8 минут в часы: $8 \text{ мин} = \frac{8}{60} \text{ ч} = \frac{2}{15} \text{ ч}$.

Время, которое поезд должен был потратить на оставшиеся 40 км, двигаясь с первоначальной скоростью $v$, равно $t_1 = \frac{40}{v}$ ч.

После задержки поезд увеличил скорость на 10 км/ч, и она стала равной $v + 10$ км/ч. Время, которое он фактически потратил на оставшиеся 40 км, равно $t_2 = \frac{40}{v+10}$ ч.

Разница между плановым и фактическим временем прохождения этого участка и составляет наверстанные 8 минут, то есть $\frac{2}{15}$ часа:
$t_1 - t_2 = \frac{2}{15}$
$\frac{40}{v} - \frac{40}{v+10} = \frac{2}{15}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{40(v+10) - 40v}{v(v+10)} = \frac{2}{15}$
$\frac{40v + 400 - 40v}{v^2 + 10v} = \frac{2}{15}$
$\frac{400}{v^2 + 10v} = \frac{2}{15}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$2(v^2 + 10v) = 400 \cdot 15$
$2(v^2 + 10v) = 6000$
$v^2 + 10v = 3000$
$v^2 + 10v - 3000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$
$\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$

Найдем корни уравнения:
$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + 110}{2 \cdot 1} = \frac{100}{2} = 50$
$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - 110}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$

Так как скорость не может быть отрицательной, единственным решением, удовлетворяющим условию задачи, является $v = 50$.

Ответ: 50 км/ч.

626. Экскурсанты отправились из города А в город В на теплоходе, а возвратились обратно на поезде. Расстояние от А до В по водному пути равно 108 км, а по железной дороге — 88 км. Поездка по железной дороге продолжалась на 4 ч меньше, чем на теплоходе. Сколько километров в час проходил поезд, если его скорость была на 26 км/ч больше скорости теплохода?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ км/ч — скорость поезда. Согласно условию, скорость поезда была на 26 км/ч больше скорости теплохода, следовательно, скорость теплохода равна $(x - 26)$ км/ч.

Расстояние, пройденное на теплоходе, составляет 108 км. Время, затраченное на этот путь, равно $t_{теплоход} = \frac{S_{теплоход}}{v_{теплоход}} = \frac{108}{x - 26}$ часов.

Расстояние, пройденное на поезде, составляет 88 км. Время, затраченное на этот путь, равно $t_{поезд} = \frac{S_{поезд}}{v_{поезд}} = \frac{88}{x}$ часов.

Известно, что поездка на поезде продолжалась на 4 часа меньше, чем на теплоходе. Это можно записать в виде уравнения:

$t_{теплоход} - t_{поезд} = 4$

Подставим выражения для времени в уравнение:

$\frac{108}{x - 26} - \frac{88}{x} = 4$

Для решения этого уравнения необходимо, чтобы знаменатели не были равны нулю: $x \neq 0$ и $x - 26 \neq 0$, то есть $x \neq 26$. Также, поскольку скорость теплохода $(x-26)$ должна быть положительной, $x > 26$.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x - 26)$:

$\frac{108x - 88(x - 26)}{x(x - 26)} = 4$

$\frac{108x - 88x + 2288}{x^2 - 26x} = 4$

$\frac{20x + 2288}{x^2 - 26x} = 4$

Теперь умножим обе части на знаменатель:

$20x + 2288 = 4(x^2 - 26x)$

$20x + 2288 = 4x^2 - 104x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$4x^2 - 104x - 20x - 2288 = 0$

$4x^2 - 124x - 2288 = 0$

Разделим все уравнение на 4 для упрощения:

$x^2 - 31x - 572 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-572) = 961 + 2288 = 3249$

$\sqrt{D} = \sqrt{3249} = 57$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-31) + 57}{2 \cdot 1} = \frac{31 + 57}{2} = \frac{88}{2} = 44$

$x_2 = \frac{-(-31) - 57}{2 \cdot 1} = \frac{31 - 57}{2} = \frac{-26}{2} = -13$

Корень $x_2 = -13$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 44$ удовлетворяет условию $x > 26$.

Таким образом, скорость поезда составляет 44 км/ч.

Проверка:
Скорость поезда: 44 км/ч.
Скорость теплохода: $44 - 26 = 18$ км/ч.
Время в пути на поезде: $t_{поезд} = \frac{88 \text{ км}}{44 \text{ км/ч}} = 2$ часа.
Время в пути на теплоходе: $t_{теплоход} = \frac{108 \text{ км}}{18 \text{ км/ч}} = 6$ часов.
Разница во времени: $6 \text{ ч} - 2 \text{ ч} = 4$ часа. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 44 км/ч.

627. На эстрадный концерт в клубе было продано на 20 000 р. билетов по одной стоимости и на 12 000 р. билетов стоимостью на 50 р. больше. Каковы цены билетов, если на концерте было 280 человек?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ – стоимость первого, более дешевого, билета в рублях. Тогда $(x + 50)$ – стоимость второго, более дорогого, билета в рублях.

Пусть $n_1$ – количество проданных билетов по цене $x$, а $n_2$ – количество проданных билетов по цене $(x + 50)$.

Исходя из условий задачи, можно составить систему уравнений:

1. Общая выручка от продажи билетов первого типа: $n_1 \cdot x = 20000$.

2. Общая выручка от продажи билетов второго типа: $n_2 \cdot (x + 50) = 12000$.

3. Общее количество проданных билетов, равное числу человек на концерте: $n_1 + n_2 = 280$.

Из первого и второго уравнений выразим количество билетов $n_1$ и $n_2$ через цену $x$:

$n_1 = \frac{20000}{x}$

$n_2 = \frac{12000}{x + 50}$

Теперь подставим эти выражения в третье уравнение системы:

$\frac{20000}{x} + \frac{12000}{x + 50} = 280$

Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 40:

$\frac{500}{x} + \frac{300}{x + 50} = 7$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 50)$:

$\frac{500(x + 50) + 300x}{x(x + 50)} = 7$

Умножим обе части на $x(x + 50)$, учитывая, что цена билета $x$ не может быть равна 0 или -50.

$500(x + 50) + 300x = 7x(x + 50)$

Раскроем скобки в уравнении:

$500x + 25000 + 300x = 7x^2 + 350x$

Сгруппируем все члены в одной части, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$800x + 25000 = 7x^2 + 350x$

$7x^2 + 350x - 800x - 25000 = 0$

$7x^2 - 450x - 25000 = 0$

Решим это уравнение, найдя дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-450)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-25000) = 202500 + 700000 = 902500$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-450) \pm \sqrt{902500}}{2 \cdot 7} = \frac{450 \pm 950}{14}$

Уравнение имеет два корня:

$x_1 = \frac{450 + 950}{14} = \frac{1400}{14} = 100$

$x_2 = \frac{450 - 950}{14} = \frac{-500}{14} = -\frac{250}{7}$

Поскольку цена билета не может быть отрицательной величиной, корень $x_2$ не является решением задачи. Таким образом, цена первого, более дешевого, билета составляет 100 рублей.

Найдем цену второго билета:

$x + 50 = 100 + 50 = 150$ рублей.

Выполним проверку найденных значений. Количество билетов по цене 100 рублей: $\frac{20000}{100} = 200$ билетов. Количество билетов по цене 150 рублей: $\frac{12000}{150} = 80$ билетов. Общее количество зрителей: $200 + 80 = 280$ человек, что полностью совпадает с условием задачи.

Ответ: цены билетов — 100 рублей и 150 рублей.