Страница 252 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

2. После двух последовательных снижений цен на одно и то же число процентов цена товара снизилась с 3000 до 1920 р. На сколько процентов снижалась цена этого товара каждый раз?

Пусть первоначальная цена товара составляла $P_0 = 3000$ рублей. Пусть цена снижалась каждый раз на $x$ процентов.

Снижение цены на $x$ процентов эквивалентно умножению старой цены на коэффициент $k = (1 - \frac{x}{100})$.

После первого снижения цена стала:
$P_1 = P_0 \cdot (1 - \frac{x}{100}) = 3000 \cdot (1 - \frac{x}{100})$

После второго снижения цена стала:
$P_2 = P_1 \cdot (1 - \frac{x}{100}) = P_0 \cdot (1 - \frac{x}{100})^2$

По условию, итоговая цена составила 1920 рублей. Составим уравнение:
$1920 = 3000 \cdot (1 - \frac{x}{100})^2$

Разделим обе части уравнения на 3000:
$(1 - \frac{x}{100})^2 = \frac{1920}{3000}$

Сократим дробь в правой части:
$\frac{1920}{3000} = \frac{192}{300} = \frac{64}{100}$

Уравнение принимает вид:
$(1 - \frac{x}{100})^2 = \frac{64}{100}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку цена снижалась, коэффициент $(1 - \frac{x}{100})$ должен быть положительным и меньше 1.
$1 - \frac{x}{100} = \sqrt{\frac{64}{100}}$
$1 - \frac{x}{100} = \frac{8}{10} = 0.8$

Теперь найдем $x$:
$\frac{x}{100} = 1 - 0.8$
$\frac{x}{100} = 0.2$
$x = 0.2 \cdot 100$
$x = 20$

Следовательно, цена каждый раз снижалась на 20%.

Ответ: на 20%.

3. Квадратный кусок резины растянули так, что он по длине увеличился на 4 см, а по ширине уменьшился на столько же. Получившийся кусок имеет площадь $560 \text{ см}^2$. Определить первоначальные размеры куска резины.

Обозначим сторону первоначального квадратного куска резины через $x$ см.

Согласно условию задачи, после растягивания длина куска увеличилась на 4 см и стала равна $(x + 4)$ см, а ширина уменьшилась на 4 см и стала равна $(x - 4)$ см. В результате получился прямоугольник.

Площадь получившегося прямоугольного куска равна произведению его новой длины на новую ширину. По условию, эта площадь составляет 560 см². Можем составить уравнение:

$(x + 4)(x - 4) = 560$

Для решения уравнения воспользуемся формулой разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Применим её к левой части уравнения:

$x^2 - 4^2 = 560$

$x^2 - 16 = 560$

Теперь выразим $x^2$:

$x^2 = 560 + 16$

$x^2 = 576$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из 576:

$x = \sqrt{576}$

$x = 24$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, мы рассматриваем только положительное значение корня. Следовательно, первоначальная сторона квадратного куска резины составляла 24 см.

Ответ: первоначальные размеры куска резины — 24 см × 24 см.

4. Груз, свободно падающий из вертолёта, находясь на высоте 16 м от земли, имел скорость $v_0 = 2$ м/с. Найти время $t$, за которое груз пролетит оставшиеся 16 м.

(Расстояние $s$, которое пролетает свободно падающее тело, находится по формуле $s = v_0t + \frac{gt^2}{2}$, где $v_0$ — начальная скорость, $t$ — время падения, $g$ — ускорение свободного падения.)

Для решения данной задачи мы воспользуемся предоставленной формулой для расстояния, которое пролетает свободно падающее тело с начальной скоростью: $s = v_0t + \frac{gt^2}{2}$

Из условия задачи нам известны следующие величины: расстояние, которое должен пролететь груз $s = 16$ м; начальная скорость груза в этой точке $v_0 = 2$ м/с. Ускорение свободного падения $g$ является физической константой. Для упрощения расчетов примем его значение равным $10$ м/с².

Теперь подставим все известные значения в исходную формулу: $16 = 2 \cdot t + \frac{10 \cdot t^2}{2}$

Упростим полученное выражение: $16 = 2t + 5t^2$

Мы получили квадратное уравнение. Перенесем все его члены в одну сторону, чтобы привести его к стандартному виду $at^2 + bt + c = 0$: $5t^2 + 2t - 16 = 0$

Решим это уравнение относительно времени $t$. Для этого найдем дискриминант ($D$) по формуле $D = b^2 - 4ac$, где коэффициенты $a=5$, $b=2$, $c=-16$: $D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-16) = 4 - (-320) = 4 + 320 = 324$

Теперь, когда дискриминант известен, найдем корни уравнения по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $t = \frac{-2 \pm \sqrt{324}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 \pm 18}{10}$

Уравнение имеет два корня: $t_1 = \frac{-2 + 18}{10} = \frac{16}{10} = 1.6$ $t_2 = \frac{-2 - 18}{10} = \frac{-20}{10} = -2$

Поскольку время в физической задаче не может быть отрицательной величиной, корень $t_2 = -2$ не имеет смысла. Следовательно, единственно верным решением является $t_1 = 1.6$ с.

Ответ: 1,6 с.

5. Футболист подбросил мяч вертикально вверх со скоростью $v_0 = 12 \text{ м/с}$. Через какое время $t$ мяч будет находиться на высоте 4 м? (Высота $H$, на которую поднимается вертикально брошенное тело, находится по формуле $H = v_0t - \frac{gt^2}{2}$, где $v_0$ — начальная скорость, $t$ — время полёта, $g$ — ускорение свободного падения.)

Для решения задачи воспользуемся формулой для высоты $H$, на которую поднимается вертикально брошенное тело, которая дана в условии:

$H = v_0t - \frac{gt^2}{2}$

Нам известны следующие величины:

• начальная скорость $v_0 = 12$ м/с;
• высота $H = 4$ м.

Ускорение свободного падения $g$ является физической константой. Если в условии не указано иное, для упрощения расчетов принимается значение $g \approx 10$ м/с².

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти искомое время $t$:

$4 = 12t - \frac{10t^2}{2}$

Упростим уравнение:

$4 = 12t - 5t^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $at^2 + bt + c = 0$:

$5t^2 - 12t + 4 = 0$

Для нахождения корней уравнения $t$ воспользуемся формулой через дискриминант. Сначала вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=5$, $b=-12$, $c=4$:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64$

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Это означает, что мяч побывает на высоте 4 м дважды. Найдем эти моменты времени $t_1$ и $t_2$ по формуле $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-(-12) - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{12 - 8}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$ с

$t_2 = \frac{-(-12) + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{12 + 8}{10} = \frac{20}{10} = 2$ с

Оба полученных значения времени положительны и имеют физический смысл. Мяч окажется на высоте 4 м в первый раз через 0.4 секунды после броска (при движении вверх) и во второй раз — через 2 секунды после броска (при движении вниз).

Ответ: через 0,4 с и 2 с.

6. Сосуд наполнен жидкостью А. Из него отлили 6 л, добавили 6 л жидкости В, перемешали и отлили 15 л смеси. Затем долили ещё 15 л жидкости В и получили смесь, содержащую 40% (по объёму) жидкости А. Каков объём сосуда?

Пусть $V$ — искомый объём сосуда в литрах.

1. Начальные условия и первый этап.
Изначально сосуд был полностью наполнен жидкостью А, её объём был равен $V$.
После того как отлили 6 л жидкости А и добавили 6 л жидкости В, объём жидкости А в сосуде стал равен $(V-6)$ л. Общий объём смеси остался $V$ л.
Концентрация (объёмная доля) жидкости А в полученной смеси стала равна:
$C_1 = \frac{V - 6}{V}$

2. Второй этап.
Затем из сосуда отлили 15 л смеси. Концентрация жидкости А в смеси осталась прежней. Количество жидкости А, которое отлили вместе со смесью, составляет $15 \times C_1$.
Объём жидкости А, оставшийся в сосуде после этого действия:
$V_{A1} = (V - 6) - 15 \times \frac{V - 6}{V} = (V - 6) \left(1 - \frac{15}{V}\right) = \frac{(V - 6)(V - 15)}{V}$
Общий объём жидкости в сосуде на этом этапе составил $(V - 15)$ л.

3. Третий этап и составление уравнения.
После этого в сосуд долили ещё 15 л жидкости В. Объём жидкости А при этом не изменился и остался равен $V_{A1}$.
Общий объём смеси в сосуде снова стал полным: $(V - 15) + 15 = V$ л.
По условию, в итоговой смеси содержится 40% (т.е. 0,4) жидкости А. Конечная концентрация жидкости А равна отношению её объёма к общему объёму смеси:
$\frac{V_{A1}}{V} = \frac{\frac{(V - 6)(V - 15)}{V}}{V} = \frac{(V - 6)(V - 15)}{V^2}$
Составим уравнение:
$\frac{(V - 6)(V - 15)}{V^2} = 0.4$

4. Решение уравнения.
$V^2 - 15V - 6V + 90 = 0.4V^2$
$V^2 - 21V + 90 = 0.4V^2$
$0.6V^2 - 21V + 90 = 0$
Умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$6V^2 - 210V + 900 = 0$
Разделим обе части на 6 для упрощения:
$V^2 - 35V + 150 = 0$
Это квадратное уравнение вида $aV^2+bV+c=0$. Найдём его корни, например, с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 150 = 1225 - 600 = 625 = 25^2$
$V_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 \pm 25}{2}$
$V_1 = \frac{35 + 25}{2} = \frac{60}{2} = 30$
$V_2 = \frac{35 - 25}{2} = \frac{10}{2} = 5$

5. Анализ полученных корней.
По условию, из сосуда отливали 6 л, а затем 15 л смеси. Следовательно, объём сосуда $V$ должен быть не меньше 15 л.
Корень $V_2 = 5$ не удовлетворяет этому условию ($5 < 15$), поэтому он является посторонним.
Корень $V_1 = 30$ удовлетворяет условию ($30 > 15$).
Таким образом, объём сосуда составляет 30 литров.

Ответ: 30 л.

7. Даны точки $A$, $B$ и $C$, расстояния между которыми указаны на рисунке 52. Найти:

1) отрезок AD — проекцию AC на AB;

Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $AC=80$ см, $BC=50$ см и $AB=100$ см. Пусть $CD$ — высота, опущенная из вершины $C$ на сторону $AB$, ее длина равна $h$. Отрезок $AD$ является проекцией стороны $AC$ на прямую $AB$. Обозначим длину $AD$ как $x$. Поскольку точка $D$ находится на отрезке $AB$, то длина отрезка $DB$ равна $AB - AD = 100 - x$.
Высота $CD$ делит исходный треугольник на два прямоугольных треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle BDC$.
Применим теорему Пифагора для каждого из них.
Для $\triangle ADC$: $AC^2 = AD^2 + CD^2$. Подставив значения, получаем: $80^2 = x^2 + h^2$, или $6400 = x^2 + h^2$ (Уравнение 1).
Для $\triangle BDC$: $BC^2 = DB^2 + CD^2$. Подставив значения, получаем: $50^2 = (100 - x)^2 + h^2$, или $2500 = (100 - x)^2 + h^2$ (Уравнение 2).
Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Из Уравнения 1 выразим $h^2$: $h^2 = 6400 - x^2$.
Подставим это выражение в Уравнение 2:
$2500 = (100 - x)^2 + 6400 - x^2$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$2500 = 10000 - 200x + x^2 + 6400 - x^2$
Упростим, сократив $x^2$ и $-x^2$:
$2500 = 16400 - 200x$
Перенесем $200x$ в левую часть, а $2500$ в правую:
$200x = 16400 - 2500$
$200x = 13900$
Найдем $x$:
$x = \frac{13900}{200} = \frac{139}{2} = 69.5$
Таким образом, длина отрезка $AD$ равна 69,5 см.
Ответ: $AD = 69.5$ см.

2) расстояние h от точки C до прямой, проходящей через точки А и В.

Расстояние $h$ от точки $C$ до прямой $AB$ — это длина высоты $CD$. Для ее нахождения мы можем использовать Уравнение 1 из предыдущего пункта: $h^2 = 6400 - x^2$.
Подставим найденное значение $x = 69.5$:
$h^2 = 6400 - (69.5)^2$
$h^2 = 6400 - 4830.25$
$h^2 = 1569.75$
Найдем $h$, извлекая квадратный корень: $h = \sqrt{1569.75}$.
Для получения точного ответа в виде несократимого радикала, представим $x$ в виде обыкновенной дроби $x = \frac{139}{2}$:
$h^2 = 80^2 - (\frac{139}{2})^2 = 6400 - \frac{19321}{4} = \frac{25600 - 19321}{4} = \frac{6279}{4}$
Следовательно, $h = \sqrt{\frac{6279}{4}} = \frac{\sqrt{6279}}{2}$.
Приближенное значение: $h \approx 39.62$ см.
Ответ: $h = \frac{\sqrt{6279}}{2}$ см.