Номер 7, страница 252 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Практические и прикладные задачи. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 7, страница 252.

Условие.

7. Даны точки $A$, $B$ и $C$, расстояния между которыми указаны на рисунке 52. Найти:

1) отрезок $AD$ — проекцию $AC$ на $AB$; 2) расстояние $h$ от точки $C$ до прямой, проходящей через точки $A$ и $B$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) отрезок AD — проекцию AC на AB;

Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $AC=80$ см, $BC=50$ см и $AB=100$ см. Пусть $CD$ — высота, опущенная из вершины $C$ на сторону $AB$, ее длина равна $h$. Отрезок $AD$ является проекцией стороны $AC$ на прямую $AB$. Обозначим длину $AD$ как $x$. Поскольку точка $D$ находится на отрезке $AB$, то длина отрезка $DB$ равна $AB - AD = 100 - x$.
Высота $CD$ делит исходный треугольник на два прямоугольных треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle BDC$.
Применим теорему Пифагора для каждого из них.
Для $\triangle ADC$: $AC^2 = AD^2 + CD^2$. Подставив значения, получаем: $80^2 = x^2 + h^2$, или $6400 = x^2 + h^2$ (Уравнение 1).
Для $\triangle BDC$: $BC^2 = DB^2 + CD^2$. Подставив значения, получаем: $50^2 = (100 - x)^2 + h^2$, или $2500 = (100 - x)^2 + h^2$ (Уравнение 2).
Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Из Уравнения 1 выразим $h^2$: $h^2 = 6400 - x^2$.
Подставим это выражение в Уравнение 2:
$2500 = (100 - x)^2 + 6400 - x^2$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$2500 = 10000 - 200x + x^2 + 6400 - x^2$
Упростим, сократив $x^2$ и $-x^2$:
$2500 = 16400 - 200x$
Перенесем $200x$ в левую часть, а $2500$ в правую:
$200x = 16400 - 2500$
$200x = 13900$
Найдем $x$:
$x = \frac{13900}{200} = \frac{139}{2} = 69.5$
Таким образом, длина отрезка $AD$ равна 69,5 см.
Ответ: $AD = 69.5$ см.

2) расстояние h от точки C до прямой, проходящей через точки А и В.

Расстояние $h$ от точки $C$ до прямой $AB$ — это длина высоты $CD$. Для ее нахождения мы можем использовать Уравнение 1 из предыдущего пункта: $h^2 = 6400 - x^2$.
Подставим найденное значение $x = 69.5$:
$h^2 = 6400 - (69.5)^2$
$h^2 = 6400 - 4830.25$
$h^2 = 1569.75$
Найдем $h$, извлекая квадратный корень: $h = \sqrt{1569.75}$.
Для получения точного ответа в виде несократимого радикала, представим $x$ в виде обыкновенной дроби $x = \frac{139}{2}$:
$h^2 = 80^2 - (\frac{139}{2})^2 = 6400 - \frac{19321}{4} = \frac{25600 - 19321}{4} = \frac{6279}{4}$
Следовательно, $h = \sqrt{\frac{6279}{4}} = \frac{\sqrt{6279}}{2}$.
Приближенное значение: $h \approx 39.62$ см.
Ответ: $h = \frac{\sqrt{6279}}{2}$ см.