Номер 3, страница 253 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 3, страница 253.

Условие.

3. Расстояние между сёлами $36 \text{ км}$ один велосипедист преодолевает на $1 \text{ ч}$ быстрее другого. Найти скорость каждого велосипедиста, если известно, что скорость одного на $3 \text{ км/ч}$ больше скорости другого.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение:

Пусть $x$ км/ч — скорость второго (более медленного) велосипедиста. Тогда скорость первого (более быстрого) велосипедиста, согласно условию, будет $(x + 3)$ км/ч.

Время, которое требуется второму велосипедисту для преодоления расстояния в 36 км, можно выразить формулой $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{36}{x}$ часов.

Время, которое требуется первому велосипедисту для преодоления того же расстояния, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{36}{x+3}$ часов.

Из условия задачи известно, что первый велосипедист проезжает это расстояние на 1 час быстрее, чем второй. Это означает, что время второго велосипедиста на 1 час больше времени первого. Составим уравнение на основе этой разницы во времени:

$t_2 - t_1 = 1$

Подставим выражения для времени в уравнение:

$\frac{36}{x} - \frac{36}{x+3} = 1$

Для решения этого рационального уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+3)$:

$\frac{36(x+3) - 36x}{x(x+3)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{36x + 108 - 36x}{x^2 + 3x} = 1$

$\frac{108}{x^2 + 3x} = 1$

Так как скорость $x$ должна быть положительной, знаменатель не равен нулю. Умножим обе части уравнения на $x^2 + 3x$:

$108 = x^2 + 3x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 3x - 108 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441$

Найдем корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{-3 \pm 21}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{-3 + 21}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-3 - 21}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -12$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость второго, более медленного велосипедиста, равна 9 км/ч.

Теперь найдем скорость первого велосипедиста:

$x + 3 = 9 + 3 = 12$ км/ч.

Проверим решение: время первого велосипедиста $36/12 = 3$ часа, время второго $36/9 = 4$ часа. Разница во времени $4 - 3 = 1$ час, что соответствует условию.

Ответ: скорость одного велосипедиста 9 км/ч, а другого — 12 км/ч.