Номер 8, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 8, страница 254.

Условие.

8. Решить систему уравнений:

a) $ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 63, \\ x - y = -3; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 2, \\ 2x^2 - y^2 + 2x - y = 4. \end{cases} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 63, \\ x - y = -3; \end{cases} $$

Для решения этой системы воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $x$ через $y$.

$x = y - 3$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$(y - 3)^2 - (y - 3)y + y^2 = 63$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$(y^2 - 6y + 9) - (y^2 - 3y) + y^2 = 63$

$y^2 - 6y + 9 - y^2 + 3y + y^2 = 63$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 - 3y + 9 = 63$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$y^2 - 3y - 54 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225 = 15^2$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 15}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 15}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя выражение $x = y - 3$.

При $y_1 = 9$:

$x_1 = 9 - 3 = 6$

Получаем первую пару решений: $(6, 9)$.

При $y_2 = -6$:

$x_2 = -6 - 3 = -9$

Получаем вторую пару решений: $(-9, -6)$.

Ответ: $(6, 9), (-9, -6)$.

б) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 2, \\ 2x^2 - y^2 + 2x - y = 4. \end{cases} $$

Для решения этой системы используем метод алгебраического сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(x^2 + y^2 + x + y) + (2x^2 - y^2 + 2x - y) = 2 + 4$

Приведем подобные слагаемые. Обратим внимание, что члены с $y^2$ и $y$ взаимно уничтожаются:

$3x^2 + 3x = 6$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 + x = 2$

Перенесем 2 в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = -2$

Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$. Подставим значения $x$ в первое уравнение исходной системы $x^2 + y^2 + x + y = 2$.

Случай 1: $x = 1$

Подставляем $x=1$ в первое уравнение:

$(1)^2 + y^2 + 1 + y = 2$

$1 + y^2 + 1 + y = 2$

$y^2 + y + 2 = 2$

$y^2 + y = 0$

Вынесем $y$ за скобки:

$y(y+1) = 0$

Отсюда получаем два значения для $y$: $y_1 = 0$ и $y_2 = -1$.

Таким образом, для $x=1$ мы получили две пары решений: $(1, 0)$ и $(1, -1)$.

Случай 2: $x = -2$

Подставляем $x=-2$ в первое уравнение:

$(-2)^2 + y^2 + (-2) + y = 2$

$4 + y^2 - 2 + y = 2$

$y^2 + y + 2 = 2$

$y^2 + y = 0$

Это то же самое уравнение для $y$, что и в первом случае. Его корни: $y_3 = 0$ и $y_4 = -1$.

Таким образом, для $x=-2$ мы получили еще две пары решений: $(-2, 0)$ и $(-2, -1)$.

Объединив все найденные решения, получаем четыре пары чисел.

Ответ: $(1, 0), (1, -1), (-2, 0), (-2, -1)$.