Номер 13, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 13, страница 254.

Условие.

13. Решить систему уравнений

$\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{25}{12}, \\ 4x^2 + 9y^2 = 5. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения данной системы уравнений введем замену переменной в первом уравнении. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$ и $y \ne 0$.

Пусть $t = \frac{x}{y}$. Тогда первое уравнение системы $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{25}{12}$ можно переписать в виде:$$ t + \frac{1}{t} = \frac{25}{12} $$Умножим обе части уравнения на $12t$ (так как $t \ne 0$):$$ 12t^2 + 12 = 25t $$$$ 12t^2 - 25t + 12 = 0 $$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его корни с помощью дискриминанта:$$ D = (-25)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 12 = 625 - 576 = 49 = 7^2 $$Корни уравнения:$$ t_1 = \frac{25 - 7}{2 \cdot 12} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} $$$$ t_2 = \frac{25 + 7}{2 \cdot 12} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3} $$

Теперь вернемся к исходным переменным, рассмотрев два случая.

Случай 1. $\frac{x}{y} = \frac{3}{4}$

Выразим $x = \frac{3}{4}y$ и подставим во второе уравнение системы $4x^2 + 9y^2 = 5$:$$ 4\left(\frac{3}{4}y\right)^2 + 9y^2 = 5 $$$$ 4\left(\frac{9}{16}y^2\right) + 9y^2 = 5 $$$$ \frac{9}{4}y^2 + 9y^2 = 5 $$$$ 9y^2 + 36y^2 = 20 \implies 45y^2 = 20 \implies y^2 = \frac{20}{45} = \frac{4}{9} $$Следовательно, $y = \pm \frac{2}{3}$.

Если $y = \frac{2}{3}$, то $x = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$.Если $y = -\frac{2}{3}$, то $x = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.В этом случае получаем две пары решений: $(\frac{1}{2}; \frac{2}{3})$ и $(-\frac{1}{2}; -\frac{2}{3})$.

Случай 2. $\frac{x}{y} = \frac{4}{3}$

Выразим $x = \frac{4}{3}y$ и подставим во второе уравнение системы:$$ 4\left(\frac{4}{3}y\right)^2 + 9y^2 = 5 $$$$ 4\left(\frac{16}{9}y^2\right) + 9y^2 = 5 $$$$ \frac{64}{9}y^2 + 9y^2 = 5 $$$$ 64y^2 + 81y^2 = 45 \implies 145y^2 = 45 \implies y^2 = \frac{45}{145} = \frac{9}{29} $$Следовательно, $y = \pm \sqrt{\frac{9}{29}} = \pm \frac{3}{\sqrt{29}}$.

Если $y = \frac{3}{\sqrt{29}}$, то $x = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{29}} = \frac{4}{\sqrt{29}}$.Если $y = -\frac{3}{\sqrt{29}}$, то $x = \frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{\sqrt{29}}\right) = -\frac{4}{\sqrt{29}}$.В этом случае получаем еще две пары решений: $(\frac{4}{\sqrt{29}}; \frac{3}{\sqrt{29}})$ и $(-\frac{4}{\sqrt{29}}; -\frac{3}{\sqrt{29}})$.

Объединяем решения из обоих случаев. Для удобства записи избавимся от иррациональности в знаменателе у второй группы решений: $\frac{k}{\sqrt{29}} = \frac{k\sqrt{29}}{29}$.
Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{2}{3})$, $(-\frac{1}{2}; -\frac{2}{3})$, $(\frac{4\sqrt{29}}{29}; \frac{3\sqrt{29}}{29})$, $(-\frac{4\sqrt{29}}{29}; -\frac{3\sqrt{29}}{29})$.