Номер 649, страница 256 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 649, страница 256.

Условие.

649. 1) $1+a-\frac{a-1}{a}+\frac{a^2-1}{2a}-\frac{3a}{2};$

2) $\frac{a^2-3b^2}{ab^3}+\frac{2}{ab}+\frac{ab+b^2}{a^2b^2};$

3) $\frac{a^2+5a-4}{16-a^2}+\frac{2a}{8a+2a^2};$

4) $\frac{b}{9}-\frac{4b}{6b-36}+\frac{2}{3}-\frac{4}{6-b}.$

Решение 1.

Решение 4.

1) Чтобы упростить выражение $1 + a - \frac{a - 1}{a} + \frac{a^2 - 1}{2a} - \frac{3a}{2}$, приведем все его члены к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $a$, $2a$, $2$. Наименьший общий знаменатель для них — $2a$.

Представим каждый член выражения в виде дроби со знаменателем $2a$:

$1 = \frac{2a}{2a}$

$a = \frac{a \cdot 2a}{2a} = \frac{2a^2}{2a}$

$-\frac{a - 1}{a} = -\frac{(a - 1) \cdot 2}{a \cdot 2} = -\frac{2a - 2}{2a}$

$\frac{a^2 - 1}{2a}$ (дробь уже имеет нужный знаменатель)

$-\frac{3a}{2} = -\frac{3a \cdot a}{2 \cdot a} = -\frac{3a^2}{2a}$

Теперь сложим все дроби:

$\frac{2a}{2a} + \frac{2a^2}{2a} - \frac{2a - 2}{2a} + \frac{a^2 - 1}{2a} - \frac{3a^2}{2a} = \frac{2a + 2a^2 - (2a - 2) + (a^2 - 1) - 3a^2}{2a}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2a + 2a^2 - 2a + 2 + a^2 - 1 - 3a^2}{2a} = \frac{(2a^2 + a^2 - 3a^2) + (2a - 2a) + (2 - 1)}{2a} = \frac{0 + 0 + 1}{2a} = \frac{1}{2a}$

Ответ: $\frac{1}{2a}$

2) Для упрощения выражения $\frac{a^2 - 3b^2}{ab^3} + \frac{2}{ab} + \frac{ab + b^2}{a^2b^2}$ найдем общий знаменатель. Знаменатели: $ab^3$, $ab$, $a^2b^2$. Наименьший общий знаменатель — это выражение, содержащее каждый множитель в наивысшей встречающейся степени. Для $a$ это $a^2$, для $b$ это $b^3$. Таким образом, общий знаменатель — $a^2b^3$.

Приведем каждую дробь к знаменателю $a^2b^3$:

$\frac{a^2 - 3b^2}{ab^3} = \frac{(a^2 - 3b^2) \cdot a}{ab^3 \cdot a} = \frac{a^3 - 3ab^2}{a^2b^3}$

$\frac{2}{ab} = \frac{2 \cdot ab^2}{ab \cdot ab^2} = \frac{2ab^2}{a^2b^3}$

$\frac{ab + b^2}{a^2b^2} = \frac{(ab + b^2) \cdot b}{a^2b^2 \cdot b} = \frac{ab^2 + b^3}{a^2b^3}$

Сложим полученные дроби:

$\frac{a^3 - 3ab^2}{a^2b^3} + \frac{2ab^2}{a^2b^3} + \frac{ab^2 + b^3}{a^2b^3} = \frac{a^3 - 3ab^2 + 2ab^2 + ab^2 + b^3}{a^2b^3}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{a^3 + (-3ab^2 + 2ab^2 + ab^2) + b^3}{a^2b^3} = \frac{a^3 + 0 + b^3}{a^2b^3} = \frac{a^3 + b^3}{a^2b^3}$

Ответ: $\frac{a^3 + b^3}{a^2b^3}$

3) Упростим выражение $\frac{a^2 + 5a - 4}{16 - a^2} + \frac{2a}{8a + 2a^2}$. Сначала разложим знаменатели на множители.

Первый знаменатель: $16 - a^2 = (4 - a)(4 + a)$ (разность квадратов).

Второй знаменатель: $8a + 2a^2 = 2a(4 + a)$ (вынесение общего множителя).

Исходное выражение принимает вид:

$\frac{a^2 + 5a - 4}{(4 - a)(4 + a)} + \frac{2a}{2a(4 + a)}$

Вторую дробь можно сократить на $2a$ (при условии, что $a \neq 0$):

$\frac{a^2 + 5a - 4}{(4 - a)(4 + a)} + \frac{1}{4 + a}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $(4 - a)(4 + a)$:

$\frac{a^2 + 5a - 4}{(4 - a)(4 + a)} + \frac{1 \cdot (4 - a)}{(4 + a)(4 - a)} = \frac{a^2 + 5a - 4 + 4 - a}{(4 - a)(4 + a)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{a^2 + (5a - a) + (-4 + 4)}{(4 - a)(4 + a)} = \frac{a^2 + 4a}{(4 - a)(4 + a)}$

Вынесем в числителе общий множитель $a$ и сократим дробь:

$\frac{a(a + 4)}{(4 - a)(4 + a)} = \frac{a}{4 - a}$

Ответ: $\frac{a}{4 - a}$

4) Рассмотрим выражение $\frac{b}{9} - \frac{4b}{6b - 36} + \frac{2}{3} - \frac{4}{6 - b}$. Преобразуем знаменатели.

$6b - 36 = 6(b - 6)$

$6 - b = -(b - 6)$. Тогда $-\frac{4}{6 - b} = -\frac{4}{-(b - 6)} = \frac{4}{b - 6}$.

Выражение принимает вид:

$\frac{b}{9} - \frac{4b}{6(b - 6)} + \frac{2}{3} + \frac{4}{b - 6}$

Сократим вторую дробь на 2: $\frac{4b}{6(b - 6)} = \frac{2b}{3(b - 6)}$.

Получаем: $\frac{b}{9} - \frac{2b}{3(b - 6)} + \frac{2}{3} + \frac{4}{b - 6}$.

Общий знаменатель для дробей со знаменателями $9$, $3(b-6)$, $3$, $b-6$ будет $9(b - 6)$.

Приведем все дроби к этому знаменателю:

$\frac{b \cdot (b - 6)}{9(b - 6)} - \frac{2b \cdot 3}{3(b - 6) \cdot 3} + \frac{2 \cdot 3(b - 6)}{3 \cdot 3(b - 6)} + \frac{4 \cdot 9}{(b - 6) \cdot 9}$

$\frac{b^2 - 6b}{9(b - 6)} - \frac{6b}{9(b - 6)} + \frac{6b - 36}{9(b - 6)} + \frac{36}{9(b - 6)}$

Сложим числители:

$\frac{b^2 - 6b - 6b + 6b - 36 + 36}{9(b - 6)} = \frac{b^2 - 6b}{9(b - 6)}$

Вынесем в числителе общий множитель $b$ и сократим дробь:

$\frac{b(b - 6)}{9(b - 6)} = \frac{b}{9}$

Ответ: $\frac{b}{9}$