Номер 654, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 654, страница 257.

Условие.

654. 1) $ \left( \frac{x + y}{x - y} - \frac{x - y}{x + y} - \frac{4y^2}{x^2 - y^2} \right) \cdot \frac{x + y}{2y}, $

2) $ \left( \frac{1 - b}{1 + b} - \frac{1 + b}{1 - b} + \frac{1 + 4b}{1 - b^2} \right) \cdot (b^2 + 2b + 1). $

Решение 1.

Решение 4.

1) $(\frac{x+y}{x-y} - \frac{x-y}{x+y} - \frac{4y^2}{x^2-y^2}) \cdot \frac{x+y}{2y}$

Сначала выполним действия в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{x+y}{x-y}$, $\frac{x-y}{x+y}$ и $\frac{4y^2}{x^2-y^2}$ это $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.

$\frac{x+y}{x-y} - \frac{x-y}{x+y} - \frac{4y^2}{x^2-y^2} = \frac{(x+y)(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{(x-y)(x-y)}{(x+y)(x-y)} - \frac{4y^2}{(x-y)(x+y)}$

$= \frac{(x+y)^2 - (x-y)^2 - 4y^2}{x^2-y^2}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

$= \frac{(x^2+2xy+y^2) - (x^2-2xy+y^2) - 4y^2}{x^2-y^2}$

$= \frac{x^2+2xy+y^2 - x^2+2xy-y^2 - 4y^2}{x^2-y^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$= \frac{(x^2-x^2) + (2xy+2xy) + (y^2-y^2) - 4y^2}{x^2-y^2} = \frac{4xy - 4y^2}{x^2-y^2}$

Вынесем общий множитель $4y$ в числителе и разложим знаменатель на множители:

$= \frac{4y(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{4y}{x+y}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{4y}{x+y} \cdot \frac{x+y}{2y}$

Сократим дроби:

$= \frac{4y \cdot (x+y)}{(x+y) \cdot 2y} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: $2$

2) $(\frac{1-b}{1+b} - \frac{1+b}{1-b} + \frac{1+4b}{1-b^2}) \cdot (b^2+2b+1)$

Сначала упростим выражение в скобках. Общий знаменатель для дробей это $1-b^2 = (1-b)(1+b)$.

$\frac{1-b}{1+b} - \frac{1+b}{1-b} + \frac{1+4b}{1-b^2} = \frac{(1-b)(1-b)}{(1+b)(1-b)} - \frac{(1+b)(1+b)}{(1-b)(1+b)} + \frac{1+4b}{1-b^2}$

$= \frac{(1-b)^2 - (1+b)^2 + 1+4b}{1-b^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$= \frac{(1-2b+b^2) - (1+2b+b^2) + 1+4b}{1-b^2}$

$= \frac{1-2b+b^2 - 1-2b-b^2 + 1+4b}{1-b^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$= \frac{(1-1+1) + (-2b-2b+4b) + (b^2-b^2)}{1-b^2} = \frac{1 - 4b + 4b}{1-b^2} = \frac{1}{1-b^2}$

Теперь рассмотрим второй множитель: $b^2+2b+1$. Это формула квадрата суммы: $(b+1)^2$.

Выполним умножение:

$\frac{1}{1-b^2} \cdot (b^2+2b+1) = \frac{1}{(1-b)(1+b)} \cdot (1+b)^2$

Сократим дробь на $(1+b)$:

$= \frac{1+b}{1-b}$

Ответ: $\frac{1+b}{1-b}$