Страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

651. 1) $\frac{x^2 - y^2}{6xy} \cdot \frac{12x^2y}{x+y}$;

2) $\frac{8ab - 8b^2}{a^2 + ab} \cdot \frac{a^3 - ab^2}{4b^3}$;

3) $\frac{a^2 + 4a}{a^2 - 16} : \frac{4a + 16}{a^2 - 4a}$;

4) $\frac{5a^3b + 5ab^3}{a^4 - b^4} : \frac{10ab}{3a^2 - 3b^2}$.

1) Исходное выражение: $\frac{x^2 - y^2}{6xy} \cdot \frac{12x^2y}{x+y}$.
Для упрощения выражения разложим на множители числитель первой дроби, используя формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Выражение примет вид: $\frac{(x-y)(x+y)}{6xy} \cdot \frac{12x^2y}{x+y}$.
Теперь выполним умножение дробей, перемножая их числители и знаменатели, а затем произведем сокращение общих множителей:
$\frac{(x-y)(x+y) \cdot 12x^2y}{6xy \cdot (x+y)}$.
Сокращаем общий множитель $(x+y)$ в числителе и знаменателе. Также сокращаем числовые коэффициенты $12$ и $6$ (получаем $2$) и переменные $x$ и $y$.
$\frac{(x-y) \cdot \cancel{(x+y)} \cdot \cancel{12}^2 \cdot x^2 \cdot y}{\cancel{6} \cdot x \cdot y \cdot \cancel{(x+y)}} = \frac{2x^2y(x-y)}{xy}$.
Сократив $x$ и $y$, получаем:
$2x(x-y)$.
Ответ: $2x(x-y)$.

2) Исходное выражение: $\frac{8ab - 8b^2}{a^2 + ab} \cdot \frac{a^3 - ab^2}{4b^3}$.
Разложим на множители числители и знаменатели дробей:
В числителе первой дроби вынесем общий множитель $8b$: $8ab - 8b^2 = 8b(a-b)$.
В знаменателе первой дроби вынесем $a$: $a^2 + ab = a(a+b)$.
В числителе второй дроби вынесем $a$ и применим формулу разности квадратов: $a^3 - ab^2 = a(a^2-b^2) = a(a-b)(a+b)$.
Подставим разложенные выражения: $\frac{8b(a-b)}{a(a+b)} \cdot \frac{a(a-b)(a+b)}{4b^3}$.
Перемножим дроби и сократим общие множители:
$\frac{8b(a-b) \cdot a(a-b)(a+b)}{a(a+b) \cdot 4b^3} = \frac{\cancel{8}^2 \cdot \cancel{b} \cdot (a-b) \cdot \cancel{a} \cdot (a-b) \cdot \cancel{(a+b)}}{\cancel{a} \cdot \cancel{(a+b)} \cdot \cancel{4} \cdot b^{\cancel{3}2}} = \frac{2(a-b)^2}{b^2}$.
Ответ: $\frac{2(a-b)^2}{b^2}$.

3) Исходное выражение: $\frac{a^2 + 4a}{a^2 - 16} : \frac{4a + 16}{a^2 - 4a}$.
Заменим операцию деления на умножение, перевернув вторую дробь (делитель):
$\frac{a^2 + 4a}{a^2 - 16} \cdot \frac{a^2 - 4a}{4a + 16}$.
Разложим на множители все числители и знаменатели:
$a^2 + 4a = a(a+4)$
$a^2 - 16 = (a-4)(a+4)$
$a^2 - 4a = a(a-4)$
$4a + 16 = 4(a+4)$
Подставим полученные выражения: $\frac{a(a+4)}{(a-4)(a+4)} \cdot \frac{a(a-4)}{4(a+4)}$.
Выполним умножение и сократим общие множители $(a+4)$ и $(a-4)$:
$\frac{a \cdot \cancel{(a+4)} \cdot a \cdot \cancel{(a-4)}}{\cancel{(a-4)} \cdot \cancel{(a+4)} \cdot 4(a+4)} = \frac{a \cdot a}{4(a+4)} = \frac{a^2}{4(a+4)}$.
Ответ: $\frac{a^2}{4(a+4)}$.

4) Исходное выражение: $\frac{5a^3b + 5ab^3}{a^4 - b^4} \cdot \frac{10ab}{3a^2 - 3b^2}$.
Разложим на множители числители и знаменатели:
$5a^3b + 5ab^3 = 5ab(a^2+b^2)$.
$a^4 - b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2) = (a-b)(a+b)(a^2+b^2)$ (дважды применили разность квадратов).
$3a^2 - 3b^2 = 3(a^2-b^2) = 3(a-b)(a+b)$.
Подставим разложенные выражения: $\frac{5ab(a^2+b^2)}{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)} \cdot \frac{10ab}{3(a-b)(a+b)}$.
Перемножим дроби и сократим общий множитель $(a^2+b^2)$:
$\frac{5ab \cdot \cancel{(a^2+b^2)} \cdot 10ab}{(a-b)(a+b)\cancel{(a^2+b^2)} \cdot 3(a-b)(a+b)} = \frac{5ab \cdot 10ab}{3(a-b)(a+b) \cdot (a-b)(a+b)}$.
Упростим числитель и знаменатель:
Числитель: $5ab \cdot 10ab = 50a^2b^2$.
Знаменатель: $3(a-b)(a+b)(a-b)(a+b) = 3((a-b)(a+b))^2 = 3(a^2-b^2)^2$.
В итоге получаем:
$\frac{50a^2b^2}{3(a^2-b^2)^2}$.
Ответ: $\frac{50a^2b^2}{3(a^2-b^2)^2}$.

652. 1) $\frac{a^3 + 2a^2}{a^2 - 1} \cdot \frac{(a+1)^3(a-1)}{a^2(a+2)}$

2) $\frac{1 - 81b^2}{a^2b^2 - 4} \cdot \frac{ab + 2}{1 - 9b}$

3) $\frac{(a^2 + ab)^2}{a^2 - b^2} : \frac{(a+b)^2}{(ab - b^2)^2}$

4) $\frac{2cd + 4d^2}{12c - 6d} : \frac{4c^2 - 16d^2}{16c^2 - 4d^2}$

1) Выполним умножение дробей $ \frac{a^3+2a^2}{a^2-1} \cdot \frac{(a+1)^3(a-1)}{a^2(a+2)} $.
Для этого разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби. В числителе вынесем общий множитель $a^2$ за скобки: $a^3+2a^2 = a^2(a+2)$.
В знаменателе применим формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $a^2-1 = (a-1)(a+1)$.
Подставим полученные выражения обратно в пример:
$ \frac{a^2(a+2)}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{(a+1)^3(a-1)}{a^2(a+2)} $.
Теперь можно сократить общие множители в числителе и знаменателе: $a^2$, $(a+2)$, $(a-1)$ и $(a+1)$.
$ \frac{\cancel{a^2}\cancel{(a+2)}}{\cancel{(a-1)}\cancel{(a+1)}} \cdot \frac{(a+1)^2\cancel{(a+1)}\cancel{(a-1)}}{\cancel{a^2}\cancel{(a+2)}} = (a+1)^2 $.
Ответ: $ (a+1)^2 $.

2) Выполним умножение дробей $ \frac{1-81b^2}{a^2b^2-4} \cdot \frac{ab+2}{1-9b} $.
Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби, используя формулу разности квадратов.
Числитель: $1-81b^2 = 1^2 - (9b)^2 = (1-9b)(1+9b)$.
Знаменатель: $a^2b^2-4 = (ab)^2 - 2^2 = (ab-2)(ab+2)$.
Подставим разложенные выражения в пример:
$ \frac{(1-9b)(1+9b)}{(ab-2)(ab+2)} \cdot \frac{ab+2}{1-9b} $.
Запишем все под одной дробной чертой и сократим общие множители $(1-9b)$ и $(ab+2)$:
$ \frac{\cancel{(1-9b)}(1+9b)\cancel{(ab+2)}}{(ab-2)\cancel{(ab+2)}\cancel{(1-9b)}} = \frac{1+9b}{ab-2} $.
Ответ: $ \frac{1+9b}{ab-2} $.

3) Выполним деление дробей $ \frac{(a^2+ab)^2}{a^2-b^2} : \frac{(a+b)^2}{(ab-b^2)^2} $.
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на дробь, обратную делителю:
$ \frac{(a^2+ab)^2}{a^2-b^2} \cdot \frac{(ab-b^2)^2}{(a+b)^2} $.
Теперь разложим на множители выражения в скобках и знаменатель первой дроби.
$ (a^2+ab)^2 = (a(a+b))^2 = a^2(a+b)^2 $.
$ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $.
$ (ab-b^2)^2 = (b(a-b))^2 = b^2(a-b)^2 $.
Подставим разложенные выражения в пример:
$ \frac{a^2(a+b)^2}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{b^2(a-b)^2}{(a+b)^2} $.
Запишем под одной дробной чертой и сократим общие множители:
$ \frac{a^2(a+b)^2 b^2(a-b)^2}{(a-b)(a+b)(a+b)^2} = \frac{a^2 b^2 (a+b)^2 (a-b)^2}{(a-b)(a+b)^3} $.
Сокращаем $(a-b)$ в числителе и знаменателе, остается $(a-b)$ в числителе.
Сокращаем $(a+b)^2$ в числителе и $(a+b)^3$ в знаменателе, остается $(a+b)$ в знаменателе.
$ \frac{a^2 b^2 (a-b)}{a+b} $.
Ответ: $ \frac{a^2b^2(a-b)}{a+b} $.

4) Выполним деление дробей $ \frac{2cd+4d^2}{12c-6d} : \frac{4c^2-16d^2}{16c^2-4d^2} $.
Заменим деление умножением на обратную дробь:
$ \frac{2cd+4d^2}{12c-6d} \cdot \frac{16c^2-4d^2}{4c^2-16d^2} $.
Разложим на множители числители и знаменатели всех дробей.
$ 2cd+4d^2 = 2d(c+2d) $.
$ 12c-6d = 6(2c-d) $.
$ 16c^2-4d^2 = 4(4c^2-d^2) = 4(2c-d)(2c+d) $ (разность квадратов).
$ 4c^2-16d^2 = 4(c^2-4d^2) = 4(c-2d)(c+2d) $ (разность квадратов).
Подставим разложенные выражения в пример:
$ \frac{2d(c+2d)}{6(2c-d)} \cdot \frac{4(2c-d)(2c+d)}{4(c-2d)(c+2d)} $.
Сократим общие множители $4$, $(2c-d)$ и $(c+2d)$.
$ \frac{2d\cancel{(c+2d)}}{6\cancel{(2c-d)}} \cdot \frac{\cancel{4}\cancel{(2c-d)}(2c+d)}{\cancel{4}(c-2d)\cancel{(c+2d)}} = \frac{2d(2c+d)}{6(c-2d)} $.
Сократим дробь $\frac{2}{6}$ на $2$:
$ \frac{d(2c+d)}{3(c-2d)} $.
Ответ: $ \frac{d(2c+d)}{3(c-2d)} $.

Выполнить действия (653–654).

653. 1) $( \frac{a}{a+1} + 1 ) : ( 1 - \frac{a}{a+1} )$;

2) $( \frac{a}{a+1} + 1 ) : ( 1 - \frac{2a^2}{1-2a^2} )$;

3) $\frac{1-a^2}{1+b} \cdot \frac{1-b^2}{a+a^2} \cdot ( 1 + \frac{a}{1-a} )$;

4) $( a + \frac{b-a}{1+ab} ) : ( 1 - \frac{a(b-a)}{1+ab} )$.

1)

Сначала выполним действия в скобках, приводя слагаемые к общему знаменателю.

Упростим первое выражение в скобках:

$ \left(\frac{a}{a+1}+1\right) = \frac{a}{a+1} + \frac{a+1}{a+1} = \frac{a+a+1}{a+1} = \frac{2a+1}{a+1} $

Упростим второе выражение в скобках:

$ \left(1-\frac{a}{a+1}\right) = \frac{a+1}{a+1} - \frac{a}{a+1} = \frac{a+1-a}{a+1} = \frac{1}{a+1} $

Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$ \left(\frac{2a+1}{a+1}\right) : \left(\frac{1}{a+1}\right) = \frac{2a+1}{a+1} \cdot \frac{a+1}{1} $

Сокращаем общий множитель $(a+1)$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{2a+1}{\cancel{a+1}} \cdot \frac{\cancel{a+1}}{1} = 2a+1 $

Ответ: $2a+1$

2)

Сначала упростим выражения в каждой из скобок, приводя их к общему знаменателю.

Первая скобка:

$ \left(\frac{a}{a+1}+1\right) = \frac{a}{a+1} + \frac{a+1}{a+1} = \frac{a+a+1}{a+1} = \frac{2a+1}{a+1} $

Вторая скобка:

$ \left(1-\frac{2a^2}{1-2a^2}\right) = \frac{1-2a^2}{1-2a^2} - \frac{2a^2}{1-2a^2} = \frac{1-2a^2-2a^2}{1-2a^2} = \frac{1-4a^2}{1-2a^2} $

Теперь разделим первое упрощенное выражение на второе:

$ \left(\frac{2a+1}{a+1}\right) : \left(\frac{1-4a^2}{1-2a^2}\right) = \frac{2a+1}{a+1} \cdot \frac{1-2a^2}{1-4a^2} $

Разложим выражение $1-4a^2$ в знаменателе второй дроби на множители, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$ 1-4a^2 = 1^2 - (2a)^2 = (1-2a)(1+2a) $

Подставим разложение в выражение и сократим общие множители $(2a+1)$:

$ \frac{2a+1}{a+1} \cdot \frac{1-2a^2}{(1-2a)(1+2a)} = \frac{\cancel{2a+1}}{a+1} \cdot \frac{1-2a^2}{(1-2a)(\cancel{1+2a})} = \frac{1-2a^2}{(a+1)(1-2a)} $

Ответ: $\frac{1-2a^2}{(a+1)(1-2a)}$

3)

Сначала упростим выражение в скобках:

$ 1+\frac{a}{1-a} = \frac{1-a}{1-a} + \frac{a}{1-a} = \frac{1-a+a}{1-a} = \frac{1}{1-a} $

Теперь перепишем все выражение, раскладывая числители и знаменатели на множители. Используем формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ и вынесем общий множитель за скобки:

$ \frac{1-a^2}{1+b} \cdot \frac{1-b^2}{a+a^2} \cdot \left(\frac{1}{1-a}\right) = \frac{(1-a)(1+a)}{1+b} \cdot \frac{(1-b)(1+b)}{a(1+a)} \cdot \frac{1}{1-a} $

Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $\cancel{(1-a)}$, $\cancel{(1+a)}$, $\cancel{(1+b)}$:

$ \frac{\cancel{(1-a)}\cancel{(1+a)}}{\cancel{1+b}} \cdot \frac{(1-b)\cancel{(1+b)}}{a\cancel{(1+a)}} \cdot \frac{1}{\cancel{1-a}} = \frac{1-b}{a} $

Ответ: $\frac{1-b}{a}$

4)

Выполним действия в каждой из скобок, приводя к общему знаменателю.

Упростим выражение в первой скобке:

$ a+\frac{b-a}{1+ab} = \frac{a(1+ab)}{1+ab} + \frac{b-a}{1+ab} = \frac{a+a^2b+b-a}{1+ab} = \frac{a^2b+b}{1+ab} = \frac{b(a^2+1)}{1+ab} $

Упростим выражение во второй скобке:

$ 1-\frac{a(b-a)}{1+ab} = \frac{1+ab}{1+ab} - \frac{ab-a^2}{1+ab} = \frac{1+ab-(ab-a^2)}{1+ab} = \frac{1+ab-ab+a^2}{1+ab} = \frac{1+a^2}{1+ab} $

Теперь выполним деление полученных выражений:

$ \left(\frac{b(a^2+1)}{1+ab}\right) : \left(\frac{1+a^2}{1+ab}\right) = \frac{b(a^2+1)}{1+ab} \cdot \frac{1+ab}{1+a^2} $

Сокращаем общие множители $\cancel{(a^2+1)}$ и $\cancel{(1+ab)}$:

$ \frac{b\cancel{(a^2+1)}}{\cancel{1+ab}} \cdot \frac{\cancel{1+ab}}{\cancel{1+a^2}} = b $

Ответ: $b$

654. 1) $ \left( \frac{x + y}{x - y} - \frac{x - y}{x + y} - \frac{4y^2}{x^2 - y^2} \right) \cdot \frac{x + y}{2y}, $

2) $ \left( \frac{1 - b}{1 + b} - \frac{1 + b}{1 - b} + \frac{1 + 4b}{1 - b^2} \right) \cdot (b^2 + 2b + 1). $

1) $(\frac{x+y}{x-y} - \frac{x-y}{x+y} - \frac{4y^2}{x^2-y^2}) \cdot \frac{x+y}{2y}$

Сначала выполним действия в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{x+y}{x-y}$, $\frac{x-y}{x+y}$ и $\frac{4y^2}{x^2-y^2}$ это $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.

$\frac{x+y}{x-y} - \frac{x-y}{x+y} - \frac{4y^2}{x^2-y^2} = \frac{(x+y)(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{(x-y)(x-y)}{(x+y)(x-y)} - \frac{4y^2}{(x-y)(x+y)}$

$= \frac{(x+y)^2 - (x-y)^2 - 4y^2}{x^2-y^2}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

$= \frac{(x^2+2xy+y^2) - (x^2-2xy+y^2) - 4y^2}{x^2-y^2}$

$= \frac{x^2+2xy+y^2 - x^2+2xy-y^2 - 4y^2}{x^2-y^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$= \frac{(x^2-x^2) + (2xy+2xy) + (y^2-y^2) - 4y^2}{x^2-y^2} = \frac{4xy - 4y^2}{x^2-y^2}$

Вынесем общий множитель $4y$ в числителе и разложим знаменатель на множители:

$= \frac{4y(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{4y}{x+y}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{4y}{x+y} \cdot \frac{x+y}{2y}$

Сократим дроби:

$= \frac{4y \cdot (x+y)}{(x+y) \cdot 2y} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: $2$

2) $(\frac{1-b}{1+b} - \frac{1+b}{1-b} + \frac{1+4b}{1-b^2}) \cdot (b^2+2b+1)$

Сначала упростим выражение в скобках. Общий знаменатель для дробей это $1-b^2 = (1-b)(1+b)$.

$\frac{1-b}{1+b} - \frac{1+b}{1-b} + \frac{1+4b}{1-b^2} = \frac{(1-b)(1-b)}{(1+b)(1-b)} - \frac{(1+b)(1+b)}{(1-b)(1+b)} + \frac{1+4b}{1-b^2}$

$= \frac{(1-b)^2 - (1+b)^2 + 1+4b}{1-b^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$= \frac{(1-2b+b^2) - (1+2b+b^2) + 1+4b}{1-b^2}$

$= \frac{1-2b+b^2 - 1-2b-b^2 + 1+4b}{1-b^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$= \frac{(1-1+1) + (-2b-2b+4b) + (b^2-b^2)}{1-b^2} = \frac{1 - 4b + 4b}{1-b^2} = \frac{1}{1-b^2}$

Теперь рассмотрим второй множитель: $b^2+2b+1$. Это формула квадрата суммы: $(b+1)^2$.

Выполним умножение:

$\frac{1}{1-b^2} \cdot (b^2+2b+1) = \frac{1}{(1-b)(1+b)} \cdot (1+b)^2$

Сократим дробь на $(1+b)$:

$= \frac{1+b}{1-b}$

Ответ: $\frac{1+b}{1-b}$

655. Упростить выражение:

1) $(\frac{x}{y-x} - \frac{x}{y+x}) \cdot \frac{(x+y)^2}{2x^2};$

2) $(\frac{1}{a-1} - 1 - \frac{1}{a+1}) \cdot (a^2-1);$

3) $(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) \cdot \frac{ab}{a-b};$

4) $(a+b)(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}) : \frac{a^2-b^2}{a^2b^2}.$

1) $(\frac{x}{y-x} - \frac{x}{y+x}) \cdot \frac{(x+y)^2}{2x^2}$
Сначала выполним вычитание дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю $(y-x)(y+x)$, который по формуле разности квадратов равен $y^2-x^2$.
$\frac{x}{y-x} - \frac{x}{y+x} = \frac{x(y+x) - x(y-x)}{(y-x)(y+x)} = \frac{xy + x^2 - (xy - x^2)}{y^2-x^2} = \frac{xy + x^2 - xy + x^2}{y^2-x^2} = \frac{2x^2}{y^2-x^2}$.
Теперь умножим полученный результат на вторую дробь:
$\frac{2x^2}{y^2-x^2} \cdot \frac{(x+y)^2}{2x^2}$.
Сократим общие множители $2x^2$:
$\frac{1}{y^2-x^2} \cdot (x+y)^2 = \frac{(x+y)^2}{y^2-x^2}$.
Разложим знаменатель по формуле разности квадратов $y^2-x^2 = (y-x)(y+x)$:
$\frac{(x+y)^2}{(y-x)(y+x)} = \frac{y+x}{y-x}$.
Ответ: $\frac{y+x}{y-x}$.

2) $(\frac{1}{a-1} - 1 - \frac{1}{a+1}) \cdot (a^2-1)$
Выполним действия в скобках, приведя все члены к общему знаменателю $(a-1)(a+1) = a^2-1$:
$\frac{1(a+1)}{(a-1)(a+1)} - \frac{1(a^2-1)}{a^2-1} - \frac{1(a-1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{(a+1) - (a^2-1) - (a-1)}{a^2-1}$.
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{a+1 - a^2+1 - a+1}{a^2-1} = \frac{-a^2+3}{a^2-1}$.
Теперь умножим полученную дробь на $(a^2-1)$:
$\frac{-a^2+3}{a^2-1} \cdot (a^2-1)$.
Сократим на $(a^2-1)$:
$-a^2+3 = 3-a^2$.
Ответ: $3-a^2$.

3) $(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) \cdot \frac{ab}{a-b}$
Сначала выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ab$:
$\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a \cdot a}{ab} - \frac{b \cdot b}{ab} = \frac{a^2-b^2}{ab}$.
Теперь умножим полученный результат на вторую дробь:
$\frac{a^2-b^2}{ab} \cdot \frac{ab}{a-b}$.
Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{(a-b)(a+b)}{ab} \cdot \frac{ab}{a-b}$.
Сократим общие множители $ab$ и $(a-b)$:
$a+b$.
Ответ: $a+b$.

4) $(a+b)(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}) : \frac{a^2-b^2}{a^2b^2}$
Выполним по действиям. Сначала вычитание в скобках:
$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b-a}{ab}$.
Теперь выполним умножение:
$(a+b) \cdot \frac{b-a}{ab} = \frac{(a+b)(b-a)}{ab}$.
Вынесем $-1$ из скобки $(b-a)$, чтобы получить $-(a-b)$:
$\frac{-(a+b)(a-b)}{ab} = \frac{-(a^2-b^2)}{ab}$.
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{-(a^2-b^2)}{ab} : \frac{a^2-b^2}{a^2b^2} = \frac{-(a^2-b^2)}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{a^2-b^2}$.
Сократим общие множители $(a^2-b^2)$ и $ab$:
$\frac{-1}{ab} \cdot a^2b^2 = -ab$.
Ответ: $-ab$.

656. Доказать, что если $x > 0,5$ и $y > 4$, то:

1) $4x + 3y > 14$;

2) $2xy - 3 > 1$;

3) $x^2y > 1$;

4) $x^3 + y^2 > 16$.

Дано: $x > 0,5$ и $y > 4$. Необходимо доказать следующие неравенства, используя свойства числовых неравенств.

1) $4x + 3y > 14$

Умножим обе части неравенства $x > 0,5$ на положительное число 4. Знак неравенства при этом не изменится:
$4 \cdot x > 4 \cdot 0,5$
$4x > 2$
Теперь умножим обе части неравенства $y > 4$ на положительное число 3. Знак неравенства также не изменится:
$3 \cdot y > 3 \cdot 4$
$3y > 12$
Сложим почленно два полученных неравенства $4x > 2$ и $3y > 12$. Так как оба неравенства одного знака ('>'), их можно складывать:
$4x + 3y > 2 + 12$
$4x + 3y > 14$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

2) $2xy - 3 > 1$

Используя исходные данные $x > 0,5$ и $y > 4$, и тот факт, что все части неравенств положительны, перемножим их почленно:
$x \cdot y > 0,5 \cdot 4$
$xy > 2$
Теперь умножим обе части полученного неравенства на 2 (знак неравенства не изменится):
$2xy > 4$
Наконец, вычтем 3 из обеих частей неравенства:
$2xy - 3 > 4 - 3$
$2xy - 3 > 1$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

3) $x^2y > 1$

Из условия $x > 0,5$, и так как обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$x^2 > (0,5)^2$
$x^2 > 0,25$
Теперь у нас есть два неравенства с положительными частями: $x^2 > 0,25$ и $y > 4$. Перемножим их почленно:
$x^2 \cdot y > 0,25 \cdot 4$
$x^2y > 1$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

4) $x^3 + y^2 > 16$

Рассмотрим каждое слагаемое в левой части неравенства отдельно.
Из условия $x > 0,5$, так как обе части положительны, возведем их в куб:
$x^3 > (0,5)^3$
$x^3 > 0,125$
Из условия $y > 4$, так как обе части положительны, возведем их в квадрат:
$y^2 > 4^2$
$y^2 > 16$
Теперь сложим почленно два полученных неравенства $x^3 > 0,125$ и $y^2 > 16$:
$x^3 + y^2 > 0,125 + 16$
$x^3 + y^2 > 16,125$
Так как $16,125 > 16$, то по свойству транзитивности неравенств мы можем заключить:
$x^3 + y^2 > 16$
Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

657. (Устно.) Найти наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

1) $n \leq -7$;

2) $n < -3.6$;

3) $n \leq 4.8$;

4) $n \leq -5.6$.

Задача состоит в том, чтобы для каждого неравенства найти наибольшее целое число $n$, которое ему удовлетворяет.

1) Дано неравенство $n \le -7$.

Это неравенство означает, что число $n$ должно быть меньше или равно -7. Множество целых чисел, удовлетворяющих этому условию, включает ..., -10, -9, -8, -7. Поскольку неравенство нестрогое (включает знак равенства), само число -7 является решением. Любое другое целое решение (например, -8) будет меньше, чем -7. Следовательно, наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому неравенству, является -7.

Ответ: -7

2) Дано неравенство $n < -3,6$.

Это строгое неравенство, означающее, что число $n$ должно быть строго меньше -3,6. Нам нужно найти наибольшее целое число, которое меньше -3,6. Рассмотрим целые числа на числовой оси рядом с -3,6. Число -3 больше, чем -3,6, поэтому оно не является решением. Следующее меньшее целое число — это -4. Так как $-4 < -3.6$, число -4 является решением. Все остальные целые числа, которые меньше -3,6 (например, -5, -6), меньше чем -4. Таким образом, наибольшее целое число, удовлетворяющее данному неравенству, — это -4.

Ответ: -4

3) Дано неравенство $n \le 4,8$.

Неравенство означает, что число $n$ должно быть меньше или равно 4,8. Мы ищем наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию. Целые числа, которые меньше или равны 4,8, это ..., 2, 3, 4. Следующее целое число, 5, больше чем 4,8 и, следовательно, не является решением. Значит, наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому неравенству, является 4.

Ответ: 4

4) Дано неравенство $n \le -5,6$.

Это неравенство означает, что число $n$ должно быть меньше или равно -5,6. Ищем наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию. Рассмотрим целые числа вблизи -5,6. Число -5 больше, чем -5,6, поэтому оно не подходит. Следующее меньшее целое число — это -6. Так как $-6 < -5.6$, число -6 является решением. Все остальные целые решения (например, -7, -8) будут меньше, чем -6. Следовательно, наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, — это -6.

Ответ: -6

658. (Устно.) Найти наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

1) $n > -12;$

2) $n \ge -5,2;$

3) $n \ge 8,1;$

4) $n \ge -8,1.$

1) Требуется найти наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее неравенству $n > -12$.
Это строгое неравенство, значит, $n$ должно быть строго больше $-12$. Первое целое число, которое находится на числовой оси правее $-12$, это $-11$. Множество целых решений: $\{-11, -10, -9, \dots\}$. Наименьшее из этих чисел — $-11$.
Ответ: $-11$.

2) Требуется найти наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее неравенству $n \ge -5,2$.
Это нестрогое неравенство. Мы ищем целые числа, которые больше или равны $-5,2$. На числовой прямой это будут целые числа, расположенные правее точки $-5,2$. Первое такое целое число — это $-5$. Множество целых решений: $\{-5, -4, -3, \dots\}$. Наименьшее из них — $-5$.
Ответ: $-5$.

3) Требуется найти наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее неравенству $n \ge 8,1$.
Это нестрогое неравенство. Искомое целое число $n$ должно быть больше или равно $8,1$. Первое целое число, которое больше $8,1$, это $9$. Множество целых решений: $\{9, 10, 11, \dots\}$. Наименьшее из этих чисел — $9$.
Ответ: $9$.

4) Требуется найти наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее неравенству $n \ge -8,1$.
Это нестрогое неравенство. Мы ищем наименьшее целое число, которое больше или равно $-8,1$. На числовой прямой это будут целые числа, расположенные правее точки $-8,1$. Первое такое целое число — это $-8$. Множество целых решений: $\{-8, -7, -6, \dots\}$. Наименьшее из них — $-8$.
Ответ: $-8$.