Страница 251 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

637. Сумма квадратов корней уравнения $x^2+px-3=0$ равна 10.

Найти $p$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$. Согласно теореме Виета, для корней $x_1$ и $x_2$ выполняются следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$

В нашем уравнении $x^2 + px - 3 = 0$ коэффициенты равны $b=p$ и $c=-3$. Следовательно:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = -3$

По условию задачи, сумма квадратов корней равна 10:
$x_1^2 + x_2^2 = 10$

Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы:
$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$
Отсюда получаем:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим в это выражение известные нам значения из теоремы Виета и условия задачи:
$10 = (-p)^2 - 2(-3)$

Решим полученное уравнение для нахождения $p$:
$10 = p^2 + 6$
$p^2 = 10 - 6$
$p^2 = 4$
$p = \pm \sqrt{4}$
$p_1 = 2$, $p_2 = -2$

Для того чтобы у уравнения были действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
$D = b^2 - 4ac = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = p^2 + 12$.
Поскольку $p^2 \ge 0$ для любого действительного $p$, дискриминант $D = p^2 + 12$ всегда будет положительным. Следовательно, уравнение имеет два различных действительных корня при любых найденных значениях $p$.

Ответ: $p = \pm 2$.

638. Решить уравнение:

1) $\frac{2}{x^2 - x + 1} = \frac{1}{x + 1} + \frac{2x - 1}{x^3 + 1}$

2) $\frac{30}{x^2 - 1} - \frac{13}{x^2 + x + 1} = \frac{7 + 18x}{x^3 - 1}$

1) $\frac{2}{x^2 - x + 1} = \frac{1}{x + 1} + \frac{2x - 1}{x^3 + 1}$

Найдем общий знаменатель, предварительно разложив знаменатель $x^3+1$ на множители по формуле суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$.

Общий знаменатель дробей: $(x + 1)(x^2 - x + 1)$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю:

$x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.

Выражение $x^2 - x + 1$ не равно нулю ни при каких действительных $x$, так как его дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq -1$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x + 1)(x^2 - x + 1)$ при условии, что $x \neq -1$:

$2(x + 1) = 1(x^2 - x + 1) + (2x - 1)$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$2x + 2 = x^2 - x + 1 + 2x - 1$

$2x + 2 = x^2 + x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$x^2 + x - 2x - 2 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 1, произведение корней равно -2. Корни уравнения:

$x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -1$).

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -1$ является посторонним, так как не входит в ОДЗ.

Ответ: 2.

2) $\frac{30}{x^2 - 1} - \frac{13}{x^2 + x + 1} = \frac{7 + 18x}{x^3 - 1}$

Разложим знаменатели на множители, используя формулы разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

Перепишем уравнение:

$\frac{30}{(x - 1)(x + 1)} - \frac{13}{x^2 + x + 1} = \frac{7 + 18x}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется из условий:

$x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow (x - 1)(x + 1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Выражение $x^2 + x + 1$ всегда положительно (дискриминант $D = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$).

ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Общий знаменатель: $(x - 1)(x + 1)(x^2 + x + 1)$. Умножим обе части уравнения на него:

$30(x^2 + x + 1) - 13(x - 1)(x + 1) = (7 + 18x)(x + 1)$

Раскроем скобки, помня, что $(x-1)(x+1) = x^2-1$:

$30x^2 + 30x + 30 - 13(x^2 - 1) = 7x + 7 + 18x^2 + 18x$

$30x^2 + 30x + 30 - 13x^2 + 13 = 18x^2 + 25x + 7$

Приведем подобные члены:

$17x^2 + 30x + 43 = 18x^2 + 25x + 7$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$18x^2 - 17x^2 + 25x - 30x + 7 - 43 = 0$

$x^2 - 5x - 36 = 0$

Решим это уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна 5, произведение равно -36. Корни:

$x_1 = 9$, $x_2 = -4$.

Оба корня, 9 и -4, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -1$).

Ответ: -4; 9.

639. На межшкольном шашечном турнире было сыграно 56 партий, причём каждый игрок играл с каждым две партии (белыми и чёрными). Сколько школьников участвовало в турнире?

Пусть $n$ — количество школьников, участвовавших в турнире.

Задача состоит в том, чтобы найти число участников $n$, зная общее количество сыгранных партий и правила турнира. Согласно правилам, каждый игрок сыграл с каждым другим игроком две партии. Для нахождения $n$ можно использовать два способа.

Каждый из $n$ игроков играет со всеми остальными, то есть с $(n-1)$ соперниками. С каждым из этих соперников он играет две партии (одну белыми, другую чёрными). Таким образом, каждый отдельный игрок участвует в $2 \times (n-1)$ партиях.

Если мы умножим количество игроков на количество партий, сыгранных каждым из них, то получим $n \times 2 \times (n-1)$. Однако при таком подсчёте каждая партия будет учтена дважды (например, партия между игроком А и игроком Б будет посчитана и для А, и для Б). Поэтому, чтобы найти общее количество уникальных партий, полученный результат необходимо разделить на 2.

Общее количество партий = $\frac{n \times 2 \times (n-1)}{2} = n(n-1)$.

Количество уникальных пар соперников, которые можно составить из $n$ игроков, равно числу сочетаний из $n$ по 2. Формула для числа сочетаний:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Это количество всех возможных пар игроков. Поскольку каждая пара сыграла между собой две партии, общее количество сыгранных партий равно удвоенному числу пар:

Общее количество партий = $2 \times C_n^2 = 2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1)$.

Оба способа приводят к одной и той же формуле. Из условия задачи мы знаем, что всего было сыграно 56 партий. Составим уравнение:

$n(n-1) = 56$

Это квадратное уравнение вида $n^2 - n - 56 = 0$. Его можно решить, найдя два последовательных целых числа, произведение которых равно 56. Путем подбора или зная таблицу умножения, находим, что:

$8 \times 7 = 56$

Следовательно, $n = 8$.

Проверка: если в турнире 8 участников, то количество сыгранных партий будет $8 \times (8-1) = 8 \times 7 = 56$. Решение верное.

Ответ: 8

640. В первенстве по шахматам была сыграна 231 партия. Сколько шахматистов участвовало в турнире, если каждый с каждым играл по одному разу?

Пусть $n$ — количество шахматистов, участвовавших в турнире.

По условию задачи, каждый шахматист сыграл с каждым другим ровно один раз. Это означает, что общее количество сыгранных партий равно числу способов выбрать 2 игроков из $n$. Такая задача решается с помощью формулы числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае для каждой партии выбирается 2 шахматиста ($k=2$) из общего числа участников $n$. Формула для нахождения количества партий будет выглядеть так: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Известно, что всего была сыграна 231 партия. Составим и решим уравнение: $\frac{n(n-1)}{2} = 231$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: $n(n-1) = 231 \cdot 2$ $n(n-1) = 462$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $n^2 - n = 462$ $n^2 - n - 462 = 0$

Решим это уравнение, найдя дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-462) = 1 + 1848 = 1849$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{1849} = 43$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $n_1 = \frac{-(-1) + 43}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 43}{2} = \frac{44}{2} = 22$ $n_2 = \frac{-(-1) - 43}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 43}{2} = \frac{-42}{2} = -21$

Поскольку количество шахматистов не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -21$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, единственным верным решением является $n = 22$.

Ответ: 22.

641. В чемпионате по волейболу было сыграно 66 матчей. Сколько команд участвовало в чемпионате, если каждая команда играла с каждой по одному разу?

Пусть $n$ — искомое количество команд, участвовавших в чемпионате.По условию, каждая команда играла с каждой по одному разу. Это означает, что общее количество матчей равно числу сочетаний из $n$ команд по 2, так как для каждого матча выбирается пара команд, и порядок команд в паре не важен.Формула для числа сочетаний из $n$ по 2 имеет вид:$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Нам известно, что всего было сыграно 66 матчей. Составим уравнение, приравняв формулу к данному значению:$\frac{n(n-1)}{2} = 66$

Для нахождения $n$ решим это уравнение. Сначала умножим обе части на 2:$n(n-1) = 132$

Далее можно действовать двумя способами.
1. Метод подбора. Мы ищем два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 132. Заметим, что $11 \times 12 = 132$. Отсюда следует, что $n=12$.
2. Решение квадратного уравнения. Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду $an^2+bn+c=0$:$n^2 - n = 132$$n^2 - n - 132 = 0$Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529$$\sqrt{D} = \sqrt{529} = 23$Теперь найдем корни по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$n_1 = \frac{1 + 23}{2} = \frac{24}{2} = 12$$n_2 = \frac{1 - 23}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Поскольку количество команд ($n$) не может быть отрицательным числом, корень $n_2 = -11$ не является решением задачи. Следовательно, в чемпионате участвовало 12 команд.

Проверка: Если команд 12, то каждая из них сыграет с 11-ю остальными. Общее число матчей будет равно $\frac{12 \cdot 11}{2} = \frac{132}{2} = 66$. Результат совпадает с условием.

Ответ: 12.

642. Несколько спортсменов, уезжая после соревнований домой, обменялись сувенирами (каждый подарил каждому по одному сувениру). Сколько было спортсменов, если сувениров понадобилось 30?

Пусть $n$ — искомое количество спортсменов.

По условию задачи, каждый спортсмен подарил сувенир каждому другому спортсмену. Это означает, что один спортсмен дарит сувениры $n-1$ человеку (всем, кроме себя).

Поскольку спортсменов всего $n$, и каждый из них дарит $n-1$ сувенир, то общее количество подаренных сувениров можно найти, умножив количество спортсменов на количество сувениров, которые подарил каждый из них. Математически это соответствует числу размещений без повторений из $n$ элементов по 2.

Составим уравнение, где общее количество сувениров равно 30:
$n \times (n-1) = 30$

Для нахождения $n$ можно решить это уравнение несколькими способами.

Способ 1: Логический подбор
Нам необходимо найти два последовательных натуральных числа ($n$ и $n-1$), произведение которых равно 30. Начнем перебор с небольших чисел:
Если $n=4$, то $4 \times 3 = 12$ (не подходит).
Если $n=5$, то $5 \times 4 = 20$ (не подходит).
Если $n=6$, то $6 \times 5 = 30$ (подходит).
Таким образом, мы нашли, что количество спортсменов равно 6.

Способ 2: Решение квадратного уравнения
Раскроем скобки в уравнении $n(n-1) = 30$:
$n^2 - n = 30$
Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$n^2 - n - 30 = 0$
Найдем корни уравнения через дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:
$n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 11}{2}$
$n_1 = \frac{1 + 11}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$n_2 = \frac{1 - 11}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
Количество спортсменов не может быть отрицательным числом, поэтому корень $n_2 = -5$ не является решением задачи. Единственный подходящий корень — $n_1=6$.

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 6 спортсменов.

643. Задача Маклорена¹. Несколько человек обедали вместе и по счёту должны были уплатить 175 шиллингов. Так как у двоих из них денег не оказалось, каждому из оставшихся пришлось уплатить на 10 шиллингов больше. Сколько человек обедало?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это первоначальное количество человек, которые обедали.

Общая сумма счета составляла 175 шиллингов. Если бы все платили поровну, то каждый человек должен был бы заплатить $\frac{175}{x}$ шиллингов.

Согласно условию, двое из обедавших не имели денег, поэтому фактически счет оплачивали $x-2$ человек.

Оставшиеся $x-2$ человека разделили всю сумму счета между собой. Таким образом, каждый из них заплатил $\frac{175}{x-2}$ шиллингов.

Известно, что эта новая сумма на 10 шиллингов больше, чем та, которую заплатил бы каждый, если бы платили все. На основе этого мы можем составить уравнение:

$\frac{175}{x-2} = \frac{175}{x} + 10$

Для решения уравнения перенесем слагаемое $\frac{175}{x}$ в левую часть:

$\frac{175}{x-2} - \frac{175}{x} = 10$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-2)$:

$\frac{175x - 175(x-2)}{x(x-2)} = 10$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{175x - 175x + 350}{x^2 - 2x} = 10$

$\frac{350}{x^2 - 2x} = 10$

Умножим обе части уравнения на $x^2 - 2x$, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 2$ (что соответствует смыслу задачи, так как количество людей больше двух):

$350 = 10(x^2 - 2x)$

Разделим обе части на 10:

$35 = x^2 - 2x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 35 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней через дискриминант. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Поскольку $x$ представляет собой количество человек, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -5$ не является решением задачи.

Таким образом, первоначальное количество человек, которые обедали, равно 7.

Сделаем проверку. Если обедало 7 человек, каждый должен был бы заплатить $175 \div 7 = 25$ шиллингов. Поскольку двое не заплатили, платили $7 - 2 = 5$ человек. Каждый из них заплатил $175 \div 5 = 35$ шиллингов. Разница составляет $35 - 25 = 10$ шиллингов, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 7 человек.

644. Составить программу для вычисления значения выражения $\sqrt{b^2 - 4ac}$ на калькуляторе и найти его при:

1) $a=3, b=12, c=-4551$;

2) $a=2, b=114, c=1612$;

3) $a=1,5, b=-2,1, c=-55,08$;

4) $a=2,5, b=-30,75, c=93,8$.

Программа для вычисления значения выражения $ \sqrt{b^2 - 4ac} $ на калькуляторе представляет собой следующую последовательность действий:

1. Ввести значение $b$ и возвести его в квадрат (например, с помощью кнопки $x^2$).

2. Вычислить произведение $4 \cdot a \cdot c$.

3. Из результата шага 1 вычесть результат шага 2. Это будет значение подкоренного выражения.

4. Извлечь квадратный корень из результата шага 3 (например, с помощью кнопки $\sqrt{x}$).

Найдем значения выражения для указанных данных:

1) a=3, b=12, c=-4551;

Подставляем значения в выражение: $ \sqrt{12^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4551)} $.

Сначала вычисляем подкоренное выражение $ b^2 - 4ac $:

$ b^2 = 12^2 = 144 $.

$ 4ac = 4 \cdot 3 \cdot (-4551) = 12 \cdot (-4551) = -54612 $.

$ b^2 - 4ac = 144 - (-54612) = 144 + 54612 = 54756 $.

Теперь извлекаем квадратный корень:

$ \sqrt{54756} = 234 $.

Ответ: 234.

2) a=2, b=114, c=1612;

Подставляем значения в выражение: $ \sqrt{114^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1612} $.

Вычисляем подкоренное выражение $ b^2 - 4ac $:

$ b^2 = 114^2 = 12996 $.

$ 4ac = 4 \cdot 2 \cdot 1612 = 8 \cdot 1612 = 12896 $.

$ b^2 - 4ac = 12996 - 12896 = 100 $.

Извлекаем квадратный корень:

$ \sqrt{100} = 10 $.

Ответ: 10.

3) a=1,5, b=-2,1, c=-55,08;

Подставляем значения в выражение: $ \sqrt{(-2,1)^2 - 4 \cdot 1,5 \cdot (-55,08)} $.

Вычисляем подкоренное выражение $ b^2 - 4ac $:

$ b^2 = (-2,1)^2 = 4,41 $.

$ 4ac = 4 \cdot 1,5 \cdot (-55,08) = 6 \cdot (-55,08) = -330,48 $.

$ b^2 - 4ac = 4,41 - (-330,48) = 4,41 + 330,48 = 334,89 $.

Извлекаем квадратный корень:

$ \sqrt{334,89} = 18,3 $.

Ответ: 18,3.

4) a=2,5, b=-30,75, c=93,8.

Подставляем значения в выражение: $ \sqrt{(-30,75)^2 - 4 \cdot 2,5 \cdot 93,8} $.

Вычисляем подкоренное выражение $ b^2 - 4ac $:

$ b^2 = (-30,75)^2 = 945,5625 $.

$ 4ac = 4 \cdot 2,5 \cdot 93,8 = 10 \cdot 93,8 = 938 $.

$ b^2 - 4ac = 945,5625 - 938 = 7,5625 $.

Извлекаем квадратный корень:

$ \sqrt{7,5625} = 2,75 $.

Ответ: 2,75.

1. Водонапорный бак заполняется двумя трубами за 2 ч 55 мин. Первая труба может его наполнить на 2 ч быстрее, чем вторая. За какое время каждая труба, работая отдельно, заполнит этот бак?

Примем весь объем бака за 1.
Сперва переведем общее время заполнения бака в минуты:
$2 \text{ ч } 55 \text{ мин} = 2 \times 60 + 55 = 120 + 55 = 175 \text{ минут}$.
Совместная производительность (скорость заполнения) двух труб равна $\frac{1}{175}$ бака в минуту.
Пусть $t$ — это время в минутах, за которое вторая труба заполняет бак, работая в одиночку. Тогда ее производительность составляет $\frac{1}{t}$ бака в минуту.
По условию, первая труба заполняет бак на 2 часа (то есть на $2 \times 60 = 120$ минут) быстрее. Значит, время работы первой трубы составляет $(t - 120)$ минут, а ее производительность — $\frac{1}{t - 120}$ бака в минуту.
Когда трубы работают вместе, их производительности складываются. Составим уравнение:
$\frac{1}{t} + \frac{1}{t - 120} = \frac{1}{175}$
Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю:
$\frac{(t - 120) + t}{t(t - 120)} = \frac{1}{175}$
$\frac{2t - 120}{t^2 - 120t} = \frac{1}{175}$
Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$175(2t - 120) = 1(t^2 - 120t)$
$350t - 21000 = t^2 - 120t$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $at^2 + bt + c = 0$:
$t^2 - 120t - 350t + 21000 = 0$
$t^2 - 470t + 21000 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-470)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21000 = 220900 - 84000 = 136900$
$\sqrt{D} = \sqrt{136900} = 370$
Вычислим значения $t$:
$t_1 = \frac{470 + 370}{2} = \frac{840}{2} = 420$
$t_2 = \frac{470 - 370}{2} = \frac{100}{2} = 50$
Проанализируем полученные корни. $t$ — это время работы второй трубы, а время работы первой трубы равно $(t-120)$. Время не может быть отрицательным, поэтому должно выполняться условие $t - 120 > 0$, то есть $t > 120$.
Корень $t_2 = 50$ не подходит, так как $50 < 120$, и в этом случае время работы первой трубы было бы отрицательным ($50 - 120 = -70$), что лишено физического смысла.
Следовательно, правильное решение — $t_1 = 420$.
Время, за которое вторая труба заполнит бак, составляет 420 минут. Переведем это в часы: $420 / 60 = 7$ часов.
Время, за которое первая труба заполнит бак: $420 - 120 = 300$ минут. Переведем это в часы: $300 / 60 = 5$ часов.
Ответ: первая труба, работая отдельно, заполнит бак за 5 часов, а вторая — за 7 часов.