Номер 643, страница 251 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 643, страница 251.

Условие.

643. Задача Маклорена¹. Несколько человек обедали вместе и по счёту должны были уплатить 175 шиллингов. Так как у двоих из них денег не оказалось, каждому из оставшихся пришлось уплатить на 10 шиллингов больше. Сколько человек обедало?

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это первоначальное количество человек, которые обедали.

Общая сумма счета составляла 175 шиллингов. Если бы все платили поровну, то каждый человек должен был бы заплатить $\frac{175}{x}$ шиллингов.

Согласно условию, двое из обедавших не имели денег, поэтому фактически счет оплачивали $x-2$ человек.

Оставшиеся $x-2$ человека разделили всю сумму счета между собой. Таким образом, каждый из них заплатил $\frac{175}{x-2}$ шиллингов.

Известно, что эта новая сумма на 10 шиллингов больше, чем та, которую заплатил бы каждый, если бы платили все. На основе этого мы можем составить уравнение:

$\frac{175}{x-2} = \frac{175}{x} + 10$

Для решения уравнения перенесем слагаемое $\frac{175}{x}$ в левую часть:

$\frac{175}{x-2} - \frac{175}{x} = 10$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-2)$:

$\frac{175x - 175(x-2)}{x(x-2)} = 10$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{175x - 175x + 350}{x^2 - 2x} = 10$

$\frac{350}{x^2 - 2x} = 10$

Умножим обе части уравнения на $x^2 - 2x$, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 2$ (что соответствует смыслу задачи, так как количество людей больше двух):

$350 = 10(x^2 - 2x)$

Разделим обе части на 10:

$35 = x^2 - 2x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 35 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней через дискриминант. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Поскольку $x$ представляет собой количество человек, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -5$ не является решением задачи.

Таким образом, первоначальное количество человек, которые обедали, равно 7.

Сделаем проверку. Если обедало 7 человек, каждый должен был бы заплатить $175 \div 7 = 25$ шиллингов. Поскольку двое не заплатили, платили $7 - 2 = 5$ человек. Каждый из них заплатил $175 \div 5 = 35$ шиллингов. Разница составляет $35 - 25 = 10$ шиллингов, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 7 человек.