Номер 636, страница 250 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 636, страница 250.

Условие.

636. Корни квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ — взаимно обратные положительные числа. Найти $q$.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения. Согласно теореме Виета, справедливы следующие соотношения:
1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В условии задачи сказано, что корни уравнения — взаимно обратные числа. Это означает, что если один корень равен $x_1$, то второй корень $x_2$ равен $\frac{1}{x_1}$ (при условии, что $x_1 \ne 0$, что очевидно, так как в противном случае свободный член $q$ был бы равен нулю, и тогда второй корень не мог бы быть обратным к первому).

Произведение взаимно обратных чисел всегда равно 1. Таким образом, мы можем записать:
$x_1 \cdot x_2 = x_1 \cdot \frac{1}{x_1} = 1$

Теперь, используя второе соотношение из теоремы Виета ($x_1 \cdot x_2 = q$), мы можем приравнять его к полученному результату:
$q = 1$

Условие о том, что корни являются положительными, лишь подтверждает, что такое уравнение может существовать. Если корни $x_1$ и $x_2$ положительны, то их произведение $q$ также должно быть положительным, что соответствует найденному значению $q=1$. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p$ также будет положительной, следовательно, $p$ должно быть отрицательным. Для существования действительных корней дискриминант $D = p^2 - 4q = p^2 - 4$ должен быть неотрицательным, то есть $p^2 \ge 4$. С учетом того, что $p < 0$, получаем $p \le -2$. Таким образом, условия задачи непротиворечивы, но для нахождения $q$ достаточно было использовать только свойство взаимно обратных корней.

Ответ: 1