Номер 630, страница 250 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 630, страница 250.

Условие.

630. На изготовление одной детали первый рабочий затрачивал на 2,5 мин больше, чем второй. После того как первый рабочий начал изготавливать за каждый час на 3 детали больше, а второй — на одну деталь больше, чем раньше, их производительность труда стала одинаковой. Сколько деталей изготавливал каждый рабочий за 1 ч первоначально?

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — первоначальная производительность первого рабочего (деталей в час), а $y$ — первоначальная производительность второго рабочего (деталей в час).

Сначала составим уравнение, исходя из времени, затрачиваемого на изготовление одной детали. В одном часе 60 минут.
Время, которое первый рабочий тратил на одну деталь: $\frac{60}{x}$ минут.
Время, которое второй рабочий тратил на одну деталь: $\frac{60}{y}$ минут.
По условию, первый рабочий затрачивал на 2,5 минуты больше, чем второй. Отсюда получаем первое уравнение:
$\frac{60}{x} = \frac{60}{y} + 2.5$

Далее рассмотрим изменение производительности.
Новая производительность первого рабочего стала на 3 детали в час больше, то есть $x + 3$ деталей в час.
Новая производительность второго рабочего стала на 1 деталь в час больше, то есть $y + 1$ деталь в час.
По условию, их производительность труда стала одинаковой. Отсюда получаем второе уравнение:
$x + 3 = y + 1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} \frac{60}{x} = \frac{60}{y} + 2.5 \\ x + 3 = y + 1 \end{cases}$

Упростим второе уравнение, чтобы выразить одну переменную через другую:
$y = x + 3 - 1$
$y = x + 2$

Подставим выражение для $y$ в первое уравнение:
$\frac{60}{x} = \frac{60}{x+2} + 2.5$

Решим полученное уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемое с переменной в левую часть:
$\frac{60}{x} - \frac{60}{x+2} = 2.5$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+2)$:
$\frac{60(x+2) - 60x}{x(x+2)} = 2.5$
$\frac{60x + 120 - 60x}{x^2 + 2x} = 2.5$
$\frac{120}{x^2 + 2x} = 2.5$

Теперь выразим знаменатель:
$x^2 + 2x = \frac{120}{2.5}$
$x^2 + 2x = 48$

Перенесем 48 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 2x - 48 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-48$, а их сумма равна $-2$. Подбираем корни: $6$ и $-8$.
$(x-6)(x+8) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = -8$.
Так как производительность труда (количество деталей) не может быть отрицательной, корень $x = -8$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, первоначальная производительность первого рабочего составляла $x = 6$ деталей в час.

Теперь найдем первоначальную производительность второго рабочего, используя ранее полученное соотношение $y = x + 2$:
$y = 6 + 2 = 8$
Таким образом, первоначальная производительность второго рабочего составляла 8 деталей в час.

Проверим найденные значения.
Время на 1 деталь у первого рабочего: $60 / 6 = 10$ минут.
Время на 1 деталь у второго рабочего: $60 / 8 = 7.5$ минут.
Разница во времени: $10 - 7.5 = 2.5$ минуты, что соответствует условию.
Новая производительность первого рабочего: $6 + 3 = 9$ деталей в час.
Новая производительность второго рабочего: $8 + 1 = 9$ деталей в час.
Их производительность стала одинаковой, что также соответствует условию.

Ответ: первоначально первый рабочий изготавливал 6 деталей в час, а второй рабочий — 8 деталей в час.