Номер 623, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 623, страница 249.

Условие.

623. Два туриста выехали одновременно на велосипедах из села $A$ и направились разными дорогами в село $B$. Первый должен был проехать 30 км, а второй — 20 км. Скорость движения первого туриста была на 3 $ \text{км/ч} $ больше скорости второго. Однако второй турист прибыл в $B$ на 20 мин раньше первого. Сколько времени был в дороге каждый турист?

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — скорость второго туриста. Согласно условию, скорость первого туриста была на 3 км/ч больше, следовательно, его скорость равна $(x+3)$ км/ч.

Первый турист должен был проехать расстояние $S_1 = 30$ км, а второй — $S_2 = 20$ км. Время, которое каждый турист был в пути, можно выразить через скорость, используя формулу $t = \frac{S}{v}$:

• Время первого туриста: $t_1 = \frac{30}{x+3}$ часов.
• Время второго туриста: $t_2 = \frac{20}{x}$ часов.

Известно, что второй турист прибыл в пункт В на 20 минут раньше первого. Переведем 20 минут в часы: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ часа} = \frac{1}{3} \text{ часа}$.

Это означает, что время первого туриста на $\frac{1}{3}$ часа больше времени второго. Составим и решим уравнение:

$t_1 - t_2 = \frac{1}{3}$

$\frac{30}{x+3} - \frac{20}{x} = \frac{1}{3}$

Чтобы решить уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+3)$:

$\frac{30x - 20(x+3)}{x(x+3)} = \frac{1}{3}$

$\frac{30x - 20x - 60}{x^2 + 3x} = \frac{1}{3}$

$\frac{10x - 60}{x^2 + 3x} = \frac{1}{3}$

Используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$3(10x - 60) = 1(x^2 + 3x)$

$30x - 180 = x^2 + 3x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 3x - 30x + 180 = 0$

$x^2 - 27x + 180 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 180 = 729 - 720 = 9$

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня, которые мы найдем по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{27 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{27 + 3}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{27 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{27 - 3}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Оба корня положительны, поэтому оба могут являться скоростью второго туриста. Рассмотрим оба случая.

Случай 1

Скорость второго туриста $x = 12$ км/ч. Тогда скорость первого туриста составляет $12 + 3 = 15$ км/ч. Найдем время в пути для каждого:

Время первого туриста: $t_1 = \frac{30 \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = 2$ часа.

Время второго туриста: $t_2 = \frac{20 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = \frac{5}{3}$ часа. Это равно $1 \frac{2}{3}$ часа, или 1 час и 40 минут.

Проверим разницу во времени: $2 \text{ часа} - 1 \text{ час } 40 \text{ минут} = 20 \text{ минут}$. Это решение удовлетворяет условию задачи.

Случай 2

Скорость второго туриста $x = 15$ км/ч. Тогда скорость первого туриста составляет $15 + 3 = 18$ км/ч. Найдем время в пути для каждого:

Время первого туриста: $t_1 = \frac{30 \text{ км}}{18 \text{ км/ч}} = \frac{5}{3}$ часа. Это равно $1 \frac{2}{3}$ часа, или 1 час и 40 минут.

Время второго туриста: $t_2 = \frac{20 \text{ км}}{15 \text{ км/ч}} = \frac{4}{3}$ часа. Это равно $1 \frac{1}{3}$ часа, или 1 час и 20 минут.

Проверим разницу во времени: $1 \text{ час } 40 \text{ минут} - 1 \text{ час } 20 \text{ минут} = 20 \text{ минут}$. Это решение также удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: Существует два возможных варианта:
1) первый турист был в дороге 2 часа, а второй — 1 час 40 минут;
2) первый турист был в дороге 1 час 40 минут, а второй — 1 час 20 минут.