Номер 620, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 620, страница 249.

Условие.

620. Решить уравнение:

1) $ \frac{12x + 4}{x^2 + 2x - 3} = \frac{3x - 2}{x - 1} - \frac{2x + 3}{x + 3} $

2) $ \frac{5}{x^2 - 4} - \frac{8}{x^2 - 1} = \frac{2}{x^2 - 3x + 2} - \frac{20}{x^2 + 3x + 2} $

Решение 3.

Решение 4.

1) $\frac{12x + 4}{x^2 + 2x - 3} = \frac{3x - 2}{x - 1} - \frac{2x + 3}{x + 3}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю. Разложим знаменатель левой части на множители: $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Таким образом, $x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)$.

ОДЗ определяется условиями: $x-1 \neq 0$ и $x+3 \neq 0$. Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq -3$.

Перепишем уравнение с разложенным на множители знаменателем:

$\frac{12x + 4}{(x-1)(x+3)} = \frac{3x - 2}{x - 1} - \frac{2x + 3}{x + 3}$

Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю $(x-1)(x+3)$:

$\frac{12x + 4}{(x-1)(x+3)} = \frac{(3x - 2)(x+3) - (2x + 3)(x-1)}{(x-1)(x+3)}$

Так как знаменатели равны и не обращаются в ноль в ОДЗ, мы можем приравнять числители:

$12x + 4 = (3x - 2)(x+3) - (2x + 3)(x-1)$

Раскроем скобки в правой части:

$12x + 4 = (3x^2 + 9x - 2x - 6) - (2x^2 - 2x + 3x - 3)$

$12x + 4 = (3x^2 + 7x - 6) - (2x^2 + x - 3)$

$12x + 4 = 3x^2 + 7x - 6 - 2x^2 - x + 3$

$12x + 4 = x^2 + 6x - 3$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 6x - 3 - 12x - 4 = 0$

$x^2 - 6x - 7 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $6$, а их произведение равно $-7$. Корни уравнения: $x_1 = 7$, $x_2 = -1$.

Оба корня, $7$ и $-1$, принадлежат ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -3$).

Ответ: $-1; 7$.

2) $\frac{5}{x^2 - 4} - \frac{8}{x^2 - 1} = \frac{2}{x^2 - 3x + 2} - \frac{20}{x^2 + 3x + 2}$

Разложим все знаменатели на множители, чтобы найти ОДЗ и упростить уравнение:

$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$

$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x \neq \pm 1$ и $x \neq \pm 2$.

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$\frac{5}{(x-2)(x+2)} - \frac{8}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{(x-1)(x-2)} - \frac{20}{(x+1)(x+2)}$

Сгруппируем слагаемые с похожими множителями в знаменателях, перенеся их в разные части уравнения для удобства:

$\frac{5}{(x-2)(x+2)} + \frac{20}{(x+1)(x+2)} = \frac{2}{(x-1)(x-2)} + \frac{8}{(x-1)(x+1)}$

Приведем к общему знаменателю левую и правую части уравнения по отдельности.

Левая часть: $\frac{5(x+1) + 20(x-2)}{(x-2)(x+2)(x+1)} = \frac{5x+5+20x-40}{(x-2)(x+2)(x+1)} = \frac{25x-35}{(x-2)(x+2)(x+1)}$

Правая часть: $\frac{2(x+1) + 8(x-2)}{(x-1)(x-2)(x+1)} = \frac{2x+2+8x-16}{(x-1)(x-2)(x+1)} = \frac{10x-14}{(x-1)(x-2)(x+1)}$

Теперь уравнение имеет вид:

$\frac{25x-35}{(x-2)(x+2)(x+1)} = \frac{10x-14}{(x-1)(x-2)(x+1)}$

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю $(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$:

$\frac{(25x-35)(x-1) - (10x-14)(x+2)}{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ).

$(25x-35)(x-1) - (10x-14)(x+2) = 0$

Вынесем общие множители из выражений в скобках:

$5(5x-7)(x-1) - 2(5x-7)(x+2) = 0$

Вынесем общий множитель $(5x-7)$ за скобки:

$(5x-7) \cdot [5(x-1) - 2(x+2)] = 0$

$(5x-7) \cdot (5x-5-2x-4) = 0$

$(5x-7)(3x-9) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $5x - 7 = 0 \implies 5x = 7 \implies x = \frac{7}{5} = 1,4$

2) $3x - 9 = 0 \implies 3x = 9 \implies x = 3$

Оба корня, $1,4$ и $3$, принадлежат ОДЗ ($x \neq \pm 1$ и $x \neq \pm 2$).

Ответ: $1,4; 3$.