Номер 613, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 613, страница 248.

Условие.

Решить уравнение (613—615).

613.

1) $3x(x-2)=x-4;$

2) $\frac{x^2-2}{6} - \frac{1-x}{2} = \frac{x-5}{6}.$

Решение 3.

Решение 4.

1) $3x(x-2)=x-4$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:

$3x \cdot x - 3x \cdot 2 = x - 4$

$3x^2 - 6x = x - 4$

Затем перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 - 6x - x + 4 = 0$

$3x^2 - 7x + 4 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=3$, $b=-7$, $c=4$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Ответ: $1; \frac{4}{3}$.

2) $\frac{x^2-2}{6} - \frac{1-x}{2} = \frac{x-5}{6}$

Для решения этого дробно-рационального уравнения умножим обе его части на наименьший общий знаменатель, который равен 6, чтобы избавиться от дробей:

$6 \cdot \left(\frac{x^2-2}{6} - \frac{1-x}{2}\right) = 6 \cdot \frac{x-5}{6}$

$6 \cdot \frac{x^2-2}{6} - 6 \cdot \frac{1-x}{2} = x-5$

$(x^2 - 2) - 3(1-x) = x-5$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 2 - 3 + 3x = x-5$

$x^2 + 3x - 5 = x-5$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$x^2 + 3x - x - 5 + 5 = 0$

$x^2 + 2x = 0$

Получили неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x+2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, имеем два случая:

$x = 0$

или

$x+2=0 \implies x = -2$

Ответ: $-2; 0$.