Номер 618, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 618, страница 248.

Условие.

618. При каких значениях x значения данных выражений равны:

1) $\frac{9}{2x+2} + \frac{x}{x-1}$ и $\frac{1-3x}{2-2x}$;

2) $\frac{3}{x^2-1} - \frac{1}{2}$ и $\frac{3}{2x-2}$;

3) $\frac{2}{x^2-4}$ и $\frac{1}{x-2} - \frac{x-4}{x^2+2x}$;

4) $\frac{x-2}{x^2-x}$ и $\frac{2}{x^2-1} - \frac{1}{x^2+x}$?

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы найти значения $x$, при которых значения выражений равны, приравняем их:
$\frac{9}{2x+2} + \frac{x}{x-1} = \frac{1-3x}{2-2x}$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:
$2x+2 \ne 0 \Rightarrow 2(x+1) \ne 0 \Rightarrow x \ne -1$
$x-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$
$2-2x \ne 0 \Rightarrow 2(1-x) \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$
ОДЗ: $x \ne -1$ и $x \ne 1$.
Преобразуем уравнение. В знаменателе правой части вынесем $-1$ за скобки:
$\frac{9}{2(x+1)} + \frac{x}{x-1} = \frac{1-3x}{-2(x-1)}$
$\frac{9}{2(x+1)} + \frac{x}{x-1} = \frac{3x-1}{2(x-1)}$
Приведем дроби к общему знаменателю $2(x+1)(x-1)$:
$\frac{9(x-1)}{2(x+1)(x-1)} + \frac{x \cdot 2(x+1)}{2(x+1)(x-1)} = \frac{(3x-1)(x+1)}{2(x-1)(x+1)}$
Так как знаменатели равны и не равны нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числители:
$9(x-1) + 2x(x+1) = (3x-1)(x+1)$
$9x - 9 + 2x^2 + 2x = 3x^2 + 3x - x - 1$
$2x^2 + 11x - 9 = 3x^2 + 2x - 1$
Перенесем все члены в правую часть:
$3x^2 - 2x^2 + 2x - 11x - 1 + 9 = 0$
$x^2 - 9x + 8 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 9$
$x_1 \cdot x_2 = 8$
Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 8$.
Проверим корни по ОДЗ ($x \ne -1$ и $x \ne 1$). Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним. Корень $x_2 = 8$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $8$.

2) Приравняем выражения:
$\frac{3}{x^2-1} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2x-2}$
ОДЗ:
$x^2-1 \ne 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$ и $x \ne -1$
$2x-2 \ne 0 \Rightarrow 2(x-1) \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$
ОДЗ: $x \ne 1$ и $x \ne -1$.
Преобразуем уравнение, разложив знаменатели на множители:
$\frac{3}{(x-1)(x+1)} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2(x-1)}$
Общий знаменатель $2(x-1)(x+1)$. Умножим обе части уравнения на него:
$3 \cdot 2 - 1 \cdot (x-1)(x+1) = 3 \cdot (x+1)$
$6 - (x^2-1) = 3x+3$
$6 - x^2 + 1 = 3x+3$
$7 - x^2 = 3x+3$
$x^2 + 3x + 3 - 7 = 0$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -3$
$x_1 \cdot x_2 = -4$
Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -4$.
Проверим корни по ОДЗ ($x \ne 1$ и $x \ne -1$). Корень $x_1 = 1$ является посторонним. Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-4$.

3) Приравняем выражения:
$\frac{2}{x^2-4} = \frac{1}{x-2} - \frac{x-4}{x^2+2x}$
ОДЗ:
$x^2-4 \ne 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \ne 0 \Rightarrow x \ne 2$ и $x \ne -2$
$x-2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2$
$x^2+2x \ne 0 \Rightarrow x(x+2) \ne 0 \Rightarrow x \ne 0$ и $x \ne -2$
ОДЗ: $x \ne 0$, $x \ne 2$, $x \ne -2$.
Разложим знаменатели на множители:
$\frac{2}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{x-2} - \frac{x-4}{x(x+2)}$
Общий знаменатель $x(x-2)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на него:
$2x = 1 \cdot x(x+2) - (x-4)(x-2)$
$2x = x^2+2x - (x^2 - 2x - 4x + 8)$
$2x = x^2+2x - (x^2 - 6x + 8)$
$2x = x^2+2x - x^2 + 6x - 8$
$2x = 8x - 8$
$8 = 6x$
$x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
Корень $x = \frac{4}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

4) Приравняем выражения:
$\frac{x-2}{x^2-x} = \frac{2}{x^2-1} - \frac{1}{x^2+x}$
ОДЗ:
$x^2-x \ne 0 \Rightarrow x(x-1) \ne 0 \Rightarrow x \ne 0$ и $x \ne 1$
$x^2-1 \ne 0 \Rightarrow (x-1)(x+1) \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$ и $x \ne -1$
$x^2+x \ne 0 \Rightarrow x(x+1) \ne 0 \Rightarrow x \ne 0$ и $x \ne -1$
ОДЗ: $x \ne 0$, $x \ne 1$, $x \ne -1$.
Разложим знаменатели на множители:
$\frac{x-2}{x(x-1)} = \frac{2}{(x-1)(x+1)} - \frac{1}{x(x+1)}$
Общий знаменатель $x(x-1)(x+1)$. Умножим обе части уравнения на него:
$(x-2)(x+1) = 2x - 1(x-1)$
$x^2 + x - 2x - 2 = 2x - x + 1$
$x^2 - x - 2 = x + 1$
$x^2 - x - x - 2 - 1 = 0$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 2$
$x_1 \cdot x_2 = -3$
Корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.
Проверим корни по ОДЗ ($x \ne 0$, $x \ne 1$, $x \ne -1$). Корень $x_2 = -1$ является посторонним. Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $3$.