Номер 621, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 621, страница 249.

Условие.

621. В зрительном зале клуба было 270 мест. После того как число мест в каждом ряду увеличили на 5 и добавили ещё один ряд, в зрительном зале стало 380 мест. Сколько стало рядов в зрительном зале клуба?

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введем переменные:

Пусть $r$ — это первоначальное количество рядов в зрительном зале.

Пусть $s$ — это первоначальное количество мест в каждом ряду.

Исходя из условия, что всего в зале было 270 мест, составим первое уравнение:

$r \cdot s = 270$

После изменений количество рядов стало $r + 1$, а количество мест в каждом ряду — $s + 5$. Общее число мест стало 380. Составим второе уравнение:

$(r + 1)(s + 5) = 380$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Решим её.

Из первого уравнения выразим переменную $s$ через $r$:

$s = \frac{270}{r}$

Подставим это выражение для $s$ во второе уравнение:

$(r + 1)\left(\frac{270}{r} + 5\right) = 380$

Раскроем скобки в левой части:

$r \cdot \frac{270}{r} + r \cdot 5 + 1 \cdot \frac{270}{r} + 1 \cdot 5 = 380$

$270 + 5r + \frac{270}{r} + 5 = 380$

Сгруппируем и упростим:

$5r + \frac{270}{r} + 275 = 380$

Вычтем 275 из обеих частей уравнения:

$5r + \frac{270}{r} = 105$

Умножим обе части уравнения на $r$, чтобы избавиться от знаменателя (количество рядов $r$ не может быть равно нулю):

$5r^2 + 270 = 105r$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$5r^2 - 105r + 270 = 0$

Для удобства вычислений разделим все члены уравнения на 5:

$r^2 - 21r + 54 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 21, а их произведение равно 54. Методом подбора находим корни: $r_1 = 3$ и $r_2 = 18$.

Оба корня являются положительными целыми числами, поэтому необходимо проверить оба варианта.

Случай 1: Первоначальное количество рядов $r = 3$.

Тогда первоначальное количество мест в ряду: $s = \frac{270}{3} = 90$.

Новое количество рядов: $r + 1 = 3 + 1 = 4$.

Новое количество мест в ряду: $s + 5 = 90 + 5 = 95$.

Проверка: $4 \cdot 95 = 380$. Условие выполняется.

Случай 2: Первоначальное количество рядов $r = 18$.

Тогда первоначальное количество мест в ряду: $s = \frac{270}{18} = 15$.

Новое количество рядов: $r + 1 = 18 + 1 = 19$.

Новое количество мест в ряду: $s + 5 = 15 + 5 = 20$.

Проверка: $19 \cdot 20 = 380$. Условие также выполняется.

Так как оба варианта удовлетворяют всем условиям задачи, существует два возможных ответа на вопрос "Сколько стало рядов в зрительном зале клуба?".

Ответ: В зрительном зале стало 4 ряда или 19 рядов.