Номер 626, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 626, страница 249.

Условие.

626. Экскурсанты отправились из города А в город В на теплоходе, а возвратились обратно на поезде. Расстояние от А до В по водному пути равно 108 км, а по железной дороге — 88 км. Поездка по железной дороге продолжалась на 4 ч меньше, чем на теплоходе. Сколько километров в час проходил поезд, если его скорость была на 26 км/ч больше скорости теплохода?

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ км/ч — скорость поезда. Согласно условию, скорость поезда была на 26 км/ч больше скорости теплохода, следовательно, скорость теплохода равна $(x - 26)$ км/ч.

Расстояние, пройденное на теплоходе, составляет 108 км. Время, затраченное на этот путь, равно $t_{теплоход} = \frac{S_{теплоход}}{v_{теплоход}} = \frac{108}{x - 26}$ часов.

Расстояние, пройденное на поезде, составляет 88 км. Время, затраченное на этот путь, равно $t_{поезд} = \frac{S_{поезд}}{v_{поезд}} = \frac{88}{x}$ часов.

Известно, что поездка на поезде продолжалась на 4 часа меньше, чем на теплоходе. Это можно записать в виде уравнения:

$t_{теплоход} - t_{поезд} = 4$

Подставим выражения для времени в уравнение:

$\frac{108}{x - 26} - \frac{88}{x} = 4$

Для решения этого уравнения необходимо, чтобы знаменатели не были равны нулю: $x \neq 0$ и $x - 26 \neq 0$, то есть $x \neq 26$. Также, поскольку скорость теплохода $(x-26)$ должна быть положительной, $x > 26$.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x - 26)$:

$\frac{108x - 88(x - 26)}{x(x - 26)} = 4$

$\frac{108x - 88x + 2288}{x^2 - 26x} = 4$

$\frac{20x + 2288}{x^2 - 26x} = 4$

Теперь умножим обе части на знаменатель:

$20x + 2288 = 4(x^2 - 26x)$

$20x + 2288 = 4x^2 - 104x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$4x^2 - 104x - 20x - 2288 = 0$

$4x^2 - 124x - 2288 = 0$

Разделим все уравнение на 4 для упрощения:

$x^2 - 31x - 572 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-572) = 961 + 2288 = 3249$

$\sqrt{D} = \sqrt{3249} = 57$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-31) + 57}{2 \cdot 1} = \frac{31 + 57}{2} = \frac{88}{2} = 44$

$x_2 = \frac{-(-31) - 57}{2 \cdot 1} = \frac{31 - 57}{2} = \frac{-26}{2} = -13$

Корень $x_2 = -13$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 44$ удовлетворяет условию $x > 26$.

Таким образом, скорость поезда составляет 44 км/ч.

Проверка:
Скорость поезда: 44 км/ч.
Скорость теплохода: $44 - 26 = 18$ км/ч.
Время в пути на поезде: $t_{поезд} = \frac{88 \text{ км}}{44 \text{ км/ч}} = 2$ часа.
Время в пути на теплоходе: $t_{теплоход} = \frac{108 \text{ км}}{18 \text{ км/ч}} = 6$ часов.
Разница во времени: $6 \text{ ч} - 2 \text{ ч} = 4$ часа. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 44 км/ч.