Номер 624, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 624, страница 249.

Условие.

624. Две бригады рабочих закончили ремонт участка дороги за 4 ч. Если бы сначала одна из них отремонтировала половину всего участка, а затем другая — оставшуюся часть, то весь ремонт был бы закончен за 9 ч. За сколько времени каждая бригада в отдельности могла бы отремонтировать весь участок?

Решение 3.

Решение 4.

Обозначим за $t_1$ и $t_2$ время в часах, за которое первая и вторая бригады соответственно могут отремонтировать весь участок, работая по отдельности.

Тогда производительность (скорость работы) первой бригады составляет $\frac{1}{t_1}$ участка в час, а производительность второй бригады — $\frac{1}{t_2}$ участка в час.

Согласно первому условию, работая вместе, две бригады закончили ремонт за 4 часа. Их совместная производительность равна $(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2})$. За 4 часа они выполнили всю работу (1 участок). Это можно записать в виде уравнения:
$(\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}) \cdot 4 = 1$
$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{4}$

Согласно второму условию, если одна бригада отремонтирует половину участка, а затем другая — оставшуюся половину, то вся работа займет 9 часов.
Время, которое первая бригада потратит на половину участка ($\frac{1}{2}$ работы), равно $\frac{t_1}{2}$ часов.
Время, которое вторая бригада потратит на вторую половину участка, равно $\frac{t_2}{2}$ часов.
Суммарное время составляет 9 часов, что дает нам второе уравнение:
$\frac{t_1}{2} + \frac{t_2}{2} = 9$
Умножив обе части на 2, получим:
$t_1 + t_2 = 18$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{4} \\ t_1 + t_2 = 18 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $t_2$:
$t_2 = 18 - t_1$

Подставим это выражение в первое уравнение:
$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{18 - t_1} = \frac{1}{4}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{(18 - t_1) + t_1}{t_1(18 - t_1)} = \frac{1}{4}$
$\frac{18}{18t_1 - t_1^2} = \frac{1}{4}$

По свойству пропорции (перекрестное умножение) получаем:
$18 \cdot 4 = 1 \cdot (18t_1 - t_1^2)$
$72 = 18t_1 - t_1^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$t_1^2 - 18t_1 + 72 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Воспользуемся формулой с дискриминантом:
$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 324 - 288 = 36$
Корни уравнения:
$t_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 + \sqrt{36}}{2} = \frac{18 + 6}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$t_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 - \sqrt{36}}{2} = \frac{18 - 6}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Мы получили два возможных значения для времени работы одной из бригад. Найдем соответствующие значения для второй бригады из уравнения $t_2 = 18 - t_1$:
1. Если $t_1 = 12$ часов, то $t_2 = 18 - 12 = 6$ часов.
2. Если $t_1 = 6$ часов, то $t_2 = 18 - 6 = 12$ часов.

В обоих случаях мы получаем, что время работы одной бригады составляет 6 часов, а другой — 12 часов.

Проверка:
Пусть первая бригада работает 6 часов, а вторая 12 часов.
1. Совместная работа: производительность $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ участка/час. Время на весь участок: $1 / (\frac{1}{4}) = 4$ часа. Это соответствует условию.
2. Последовательная работа: первая бригада делает половину за $\frac{6}{2}=3$ часа, вторая делает вторую половину за $\frac{12}{2}=6$ часов. Общее время: $3 + 6 = 9$ часов. Это также соответствует условию.

Ответ: одна бригада могла бы отремонтировать весь участок за 6 часов, а другая — за 12 часов.