Номер 629, страница 250 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 629, страница 250.

Условие.

629. 1) $\begin{cases} y^2 - 3xy + x^2 - x + y + 9 = 0, \\ y - x = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 - x - y = 6, \\ x - 2y = 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} xy = 2, \\ xz = 3, \\ x^2 + y^2 = 5; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 30, \\ y - x = 3, \\ y - z = 4. \end{cases}$

Решение 3.

Решение 4.

1) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y^2 - 3xy + x^2 - x + y + 9 = 0 \\ y - x = 2 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = x + 2$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(x + 2)^2 - 3x(x + 2) + x^2 - x + (x + 2) + 9 = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(x^2 + 4x + 4) - (3x^2 + 6x) + x^2 - x + x + 2 + 9 = 0$

$x^2 + 4x + 4 - 3x^2 - 6x + x^2 + 11 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - 3x^2 + x^2) + (4x - 6x) + (4 + 11) = 0$

$-x^2 - 2x + 15 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1:

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 3 + 2 = 5$.

Если $x_2 = -5$, то $y_2 = -5 + 2 = -3$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(3, 5)$, $(-5, -3)$.

2) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 - x - y = 6 \\ x - 2y = 3 \end{cases} $

Заметим, что в первом уравнении $x^2 + 2xy + y^2$ является полным квадратом суммы $(x+y)^2$. Перепишем первое уравнение:

$(x + y)^2 - (x + y) = 6$

Введем замену переменной: пусть $t = x + y$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 - t - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Теперь вернемся к исходным переменным. Получаем два случая:

Случай 1: $x + y = 3$.

Получаем систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 3 \\ x - 2y = 3 \end{cases} $

Вычтем из первого уравнения второе: $(x + y) - (x - 2y) = 3 - 3$, откуда $3y = 0$, то есть $y = 0$. Тогда $x = 3 - y = 3 - 0 = 3$. Первое решение: $(3, 0)$.

Случай 2: $x + y = -2$.

Получаем систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = -2 \\ x - 2y = 3 \end{cases} $

Вычтем из первого уравнения второе: $(x + y) - (x - 2y) = -2 - 3$, откуда $3y = -5$, то есть $y = -5/3$. Тогда $x = -2 - y = -2 - (-5/3) = -2 + 5/3 = -1/3$. Второе решение: $(-1/3, -5/3)$.

Ответ: $(3, 0)$, $(-1/3, -5/3)$.

3) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} xy = 2 \\ xz = 3 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 2/x$ (заметим, что $x \neq 0$). Подставим это выражение в третье уравнение:

$x^2 + (2/x)^2 = 5$

$x^2 + 4/x^2 = 5$

Умножим обе части уравнения на $x^2$:

$x^4 + 4 = 5x^2$

$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ (где $t \ge 0$):

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Оба корня неотрицательные.

Возвращаемся к переменной $x$:

Случай 1: $x^2 = 1$, откуда $x = 1$ или $x = -1$.

Если $x = 1$, то $y = 2/1 = 2$ и $z = 3/1 = 3$. Решение: $(1, 2, 3)$.

Если $x = -1$, то $y = 2/(-1) = -2$ и $z = 3/(-1) = -3$. Решение: $(-1, -2, -3)$.

Случай 2: $x^2 = 4$, откуда $x = 2$ или $x = -2$.

Если $x = 2$, то $y = 2/2 = 1$ и $z = 3/2$. Решение: $(2, 1, 3/2)$.

Если $x = -2$, то $y = 2/(-2) = -1$ и $z = 3/(-2) = -3/2$. Решение: $(-2, -1, -3/2)$.

Ответ: $(1, 2, 3)$, $(-1, -2, -3)$, $(2, 1, 3/2)$, $(-2, -1, -3/2)$.

4) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 30 \\ y - x = 3 \\ y - z = 4 \end{cases} $

Из второго и третьего уравнений выразим $x$ и $z$ через $y$:

$x = y - 3$

$z = y - 4$

Подставим эти выражения в первое уравнение системы:

$(y - 3)^2 + y^2 + (y - 4)^2 = 30$

Раскроем скобки и упростим:

$(y^2 - 6y + 9) + y^2 + (y^2 - 8y + 16) = 30$

Приведем подобные слагаемые:

$3y^2 - 14y + 25 = 30$

$3y^2 - 14y - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -1/3$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ и $z$ для каждого $y$.

Случай 1: $y_1 = 5$.

$x_1 = y_1 - 3 = 5 - 3 = 2$

$z_1 = y_1 - 4 = 5 - 4 = 1$

Первое решение: $(2, 5, 1)$.

Случай 2: $y_2 = -1/3$.

$x_2 = y_2 - 3 = -1/3 - 3 = -1/3 - 9/3 = -10/3$

$z_2 = y_2 - 4 = -1/3 - 4 = -1/3 - 12/3 = -13/3$

Второе решение: $(-10/3, -1/3, -13/3)$.

Ответ: $(2, 5, 1)$, $(-10/3, -1/3, -13/3)$.