Страница 250 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить систему уравнений (628—629).

628. 1) $\begin{cases} 2x^2 - y = 2, \\ x - y = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - xy - y^2 = 19, \\ x - y = 7; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{4}{x-1} - \frac{7}{y-1} = 1, \\ \frac{3}{x+3} = \frac{2}{y}; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{3}{x+5} + \frac{2}{y-3} = 2, \\ \frac{4}{x-2} = \frac{1}{y-6}. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x^2 - y = 2 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим y через x:

$x - y = 1 \Rightarrow y = x - 1$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2x^2 - (x - 1) = 2$

$2x^2 - x + 1 = 2$

$2x^2 - x - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Теперь найдем соответствующие значения y, используя формулу $y = x - 1$:

При $x_1 = 1$, $y_1 = 1 - 1 = 0$.

При $x_2 = -\frac{1}{2}$, $y_2 = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{2}$.

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(1, 0)$, $(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - xy - y^2 = 19 \\ x - y = 7 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим x через y:

$x - y = 7 \Rightarrow x = y + 7$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(y + 7)^2 - (y + 7)y - y^2 = 19$

Раскроем скобки и упростим:

$(y^2 + 14y + 49) - (y^2 + 7y) - y^2 = 19$

$y^2 + 14y + 49 - y^2 - 7y - y^2 = 19$

$-y^2 + 7y + 49 = 19$

$-y^2 + 7y + 30 = 0$

Умножим уравнение на -1: $y^2 - 7y - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{169}}{2} = \frac{7 + 13}{2} = 10$

$y_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{169}}{2} = \frac{7 - 13}{2} = -3$

Теперь найдем соответствующие значения x, используя формулу $x = y + 7$:

При $y_1 = 10$, $x_1 = 10 + 7 = 17$.

При $y_2 = -3$, $x_2 = -3 + 7 = 4$.

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(17, 10)$, $(4, -3)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{4}{x-1} - \frac{7}{y-1} = 1 \\ \frac{3}{x+3} = \frac{2}{y} \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 1$, $x \ne -3$, $y \ne 1$, $y \ne 0$.

Из второго уравнения, используя свойство пропорции, выразим y через x:

$3y = 2(x+3) \Rightarrow y = \frac{2x+6}{3}$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{4}{x-1} - \frac{7}{\frac{2x+6}{3}-1} = 1$

$\frac{4}{x-1} - \frac{7}{\frac{2x+6-3}{3}} = 1$

$\frac{4}{x-1} - \frac{21}{2x+3} = 1$

Приведем уравнение к общему знаменателю $(x-1)(2x+3)$:

$4(2x+3) - 21(x-1) = (x-1)(2x+3)$

$8x + 12 - 21x + 21 = 2x^2 + 3x - 2x - 3$

$-13x + 33 = 2x^2 + x - 3$

$2x^2 + 14x - 36 = 0$

Разделим уравнение на 2: $x^2 + 7x - 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна -7, а произведение -18. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -9$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Найдем соответствующие значения y, используя формулу $y = \frac{2x+6}{3}$:

При $x_1 = 2$, $y_1 = \frac{2(2)+6}{3} = \frac{10}{3}$.

При $x_2 = -9$, $y_2 = \frac{2(-9)+6}{3} = \frac{-12}{3} = -4$.

Оба значения y удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2, \frac{10}{3})$, $(-9, -4)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{3}{x+5} + \frac{2}{y-3} = 2 \\ \frac{4}{x-2} = \frac{1}{y-6} \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne -5$, $x \ne 2$, $y \ne 3$, $y \ne 6$.

Из второго уравнения, используя свойство пропорции, выразим x через y:

$4(y-6) = x-2 \Rightarrow x = 4y - 24 + 2 \Rightarrow x = 4y - 22$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{3}{(4y-22)+5} + \frac{2}{y-3} = 2$

$\frac{3}{4y-17} + \frac{2}{y-3} = 2$

Приведем уравнение к общему знаменателю $(4y-17)(y-3)$:

$3(y-3) + 2(4y-17) = 2(4y-17)(y-3)$

$3y - 9 + 8y - 34 = 2(4y^2 - 12y - 17y + 51)$

$11y - 43 = 2(4y^2 - 29y + 51)$

$11y - 43 = 8y^2 - 58y + 102$

$8y^2 - 69y + 145 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-69)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 145 = 4761 - 4640 = 121$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{69 + \sqrt{121}}{2 \cdot 8} = \frac{69 + 11}{16} = \frac{80}{16} = 5$

$y_2 = \frac{69 - \sqrt{121}}{2 \cdot 8} = \frac{69 - 11}{16} = \frac{58}{16} = \frac{29}{8}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Теперь найдем соответствующие значения x, используя формулу $x = 4y - 22$:

При $y_1 = 5$, $x_1 = 4(5) - 22 = 20 - 22 = -2$.

При $y_2 = \frac{29}{8}$, $x_2 = 4(\frac{29}{8}) - 22 = \frac{29}{2} - 22 = \frac{29 - 44}{2} = -\frac{15}{2}$.

Оба значения x удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(-2, 5)$, $(-\frac{15}{2}, \frac{29}{8})$.

629. 1) $\begin{cases} y^2 - 3xy + x^2 - x + y + 9 = 0, \\ y - x = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 - x - y = 6, \\ x - 2y = 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} xy = 2, \\ xz = 3, \\ x^2 + y^2 = 5; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 30, \\ y - x = 3, \\ y - z = 4. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y^2 - 3xy + x^2 - x + y + 9 = 0 \\ y - x = 2 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = x + 2$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(x + 2)^2 - 3x(x + 2) + x^2 - x + (x + 2) + 9 = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(x^2 + 4x + 4) - (3x^2 + 6x) + x^2 - x + x + 2 + 9 = 0$

$x^2 + 4x + 4 - 3x^2 - 6x + x^2 + 11 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - 3x^2 + x^2) + (4x - 6x) + (4 + 11) = 0$

$-x^2 - 2x + 15 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1:

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 3 + 2 = 5$.

Если $x_2 = -5$, то $y_2 = -5 + 2 = -3$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(3, 5)$, $(-5, -3)$.

2) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 - x - y = 6 \\ x - 2y = 3 \end{cases} $

Заметим, что в первом уравнении $x^2 + 2xy + y^2$ является полным квадратом суммы $(x+y)^2$. Перепишем первое уравнение:

$(x + y)^2 - (x + y) = 6$

Введем замену переменной: пусть $t = x + y$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 - t - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Теперь вернемся к исходным переменным. Получаем два случая:

Случай 1: $x + y = 3$.

Получаем систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 3 \\ x - 2y = 3 \end{cases} $

Вычтем из первого уравнения второе: $(x + y) - (x - 2y) = 3 - 3$, откуда $3y = 0$, то есть $y = 0$. Тогда $x = 3 - y = 3 - 0 = 3$. Первое решение: $(3, 0)$.

Случай 2: $x + y = -2$.

Получаем систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = -2 \\ x - 2y = 3 \end{cases} $

Вычтем из первого уравнения второе: $(x + y) - (x - 2y) = -2 - 3$, откуда $3y = -5$, то есть $y = -5/3$. Тогда $x = -2 - y = -2 - (-5/3) = -2 + 5/3 = -1/3$. Второе решение: $(-1/3, -5/3)$.

Ответ: $(3, 0)$, $(-1/3, -5/3)$.

3) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} xy = 2 \\ xz = 3 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 2/x$ (заметим, что $x \neq 0$). Подставим это выражение в третье уравнение:

$x^2 + (2/x)^2 = 5$

$x^2 + 4/x^2 = 5$

Умножим обе части уравнения на $x^2$:

$x^4 + 4 = 5x^2$

$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ (где $t \ge 0$):

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Оба корня неотрицательные.

Возвращаемся к переменной $x$:

Случай 1: $x^2 = 1$, откуда $x = 1$ или $x = -1$.

Если $x = 1$, то $y = 2/1 = 2$ и $z = 3/1 = 3$. Решение: $(1, 2, 3)$.

Если $x = -1$, то $y = 2/(-1) = -2$ и $z = 3/(-1) = -3$. Решение: $(-1, -2, -3)$.

Случай 2: $x^2 = 4$, откуда $x = 2$ или $x = -2$.

Если $x = 2$, то $y = 2/2 = 1$ и $z = 3/2$. Решение: $(2, 1, 3/2)$.

Если $x = -2$, то $y = 2/(-2) = -1$ и $z = 3/(-2) = -3/2$. Решение: $(-2, -1, -3/2)$.

Ответ: $(1, 2, 3)$, $(-1, -2, -3)$, $(2, 1, 3/2)$, $(-2, -1, -3/2)$.

4) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 30 \\ y - x = 3 \\ y - z = 4 \end{cases} $

Из второго и третьего уравнений выразим $x$ и $z$ через $y$:

$x = y - 3$

$z = y - 4$

Подставим эти выражения в первое уравнение системы:

$(y - 3)^2 + y^2 + (y - 4)^2 = 30$

Раскроем скобки и упростим:

$(y^2 - 6y + 9) + y^2 + (y^2 - 8y + 16) = 30$

Приведем подобные слагаемые:

$3y^2 - 14y + 25 = 30$

$3y^2 - 14y - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -1/3$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ и $z$ для каждого $y$.

Случай 1: $y_1 = 5$.

$x_1 = y_1 - 3 = 5 - 3 = 2$

$z_1 = y_1 - 4 = 5 - 4 = 1$

Первое решение: $(2, 5, 1)$.

Случай 2: $y_2 = -1/3$.

$x_2 = y_2 - 3 = -1/3 - 3 = -1/3 - 9/3 = -10/3$

$z_2 = y_2 - 4 = -1/3 - 4 = -1/3 - 12/3 = -13/3$

Второе решение: $(-10/3, -1/3, -13/3)$.

Ответ: $(2, 5, 1)$, $(-10/3, -1/3, -13/3)$.

630. На изготовление одной детали первый рабочий затрачивал на 2,5 мин больше, чем второй. После того как первый рабочий начал изготавливать за каждый час на 3 детали больше, а второй — на одну деталь больше, чем раньше, их производительность труда стала одинаковой. Сколько деталей изготавливал каждый рабочий за 1 ч первоначально?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — первоначальная производительность первого рабочего (деталей в час), а $y$ — первоначальная производительность второго рабочего (деталей в час).

Сначала составим уравнение, исходя из времени, затрачиваемого на изготовление одной детали. В одном часе 60 минут.
Время, которое первый рабочий тратил на одну деталь: $\frac{60}{x}$ минут.
Время, которое второй рабочий тратил на одну деталь: $\frac{60}{y}$ минут.
По условию, первый рабочий затрачивал на 2,5 минуты больше, чем второй. Отсюда получаем первое уравнение:
$\frac{60}{x} = \frac{60}{y} + 2.5$

Далее рассмотрим изменение производительности.
Новая производительность первого рабочего стала на 3 детали в час больше, то есть $x + 3$ деталей в час.
Новая производительность второго рабочего стала на 1 деталь в час больше, то есть $y + 1$ деталь в час.
По условию, их производительность труда стала одинаковой. Отсюда получаем второе уравнение:
$x + 3 = y + 1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} \frac{60}{x} = \frac{60}{y} + 2.5 \\ x + 3 = y + 1 \end{cases}$

Упростим второе уравнение, чтобы выразить одну переменную через другую:
$y = x + 3 - 1$
$y = x + 2$

Подставим выражение для $y$ в первое уравнение:
$\frac{60}{x} = \frac{60}{x+2} + 2.5$

Решим полученное уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемое с переменной в левую часть:
$\frac{60}{x} - \frac{60}{x+2} = 2.5$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+2)$:
$\frac{60(x+2) - 60x}{x(x+2)} = 2.5$
$\frac{60x + 120 - 60x}{x^2 + 2x} = 2.5$
$\frac{120}{x^2 + 2x} = 2.5$

Теперь выразим знаменатель:
$x^2 + 2x = \frac{120}{2.5}$
$x^2 + 2x = 48$

Перенесем 48 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 2x - 48 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-48$, а их сумма равна $-2$. Подбираем корни: $6$ и $-8$.
$(x-6)(x+8) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 6$ и $x_2 = -8$.
Так как производительность труда (количество деталей) не может быть отрицательной, корень $x = -8$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, первоначальная производительность первого рабочего составляла $x = 6$ деталей в час.

Теперь найдем первоначальную производительность второго рабочего, используя ранее полученное соотношение $y = x + 2$:
$y = 6 + 2 = 8$
Таким образом, первоначальная производительность второго рабочего составляла 8 деталей в час.

Проверим найденные значения.
Время на 1 деталь у первого рабочего: $60 / 6 = 10$ минут.
Время на 1 деталь у второго рабочего: $60 / 8 = 7.5$ минут.
Разница во времени: $10 - 7.5 = 2.5$ минуты, что соответствует условию.
Новая производительность первого рабочего: $6 + 3 = 9$ деталей в час.
Новая производительность второго рабочего: $8 + 1 = 9$ деталей в час.
Их производительность стала одинаковой, что также соответствует условию.

Ответ: первоначально первый рабочий изготавливал 6 деталей в час, а второй рабочий — 8 деталей в час.

631. Из пункта А в пункт В отправился автомобиль, а одновременно навстречу ему из пункта В отправился автобус. Автомобиль прибыл в В через 40 мин после встречи с автобусом, а автобус прибыл в А через 1,5 ч после их встречи. Найти скорости автомобиля и автобуса, если расстояние между пунктами А и В равно 100 км (скорости автомобиля и автобуса постоянны).

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$v_a$ — скорость автомобиля (в км/ч),
$v_b$ — скорость автобуса (в км/ч),
$S$ — расстояние между пунктами А и В, равное 100 км,
$t$ — время от начала движения до момента встречи (в часах).

Прежде всего, переведем время, данное в условии, в часы для удобства расчетов:
Время движения автомобиля после встречи: $t_a = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.
Время движения автобуса после встречи: $t_b = 1,5 \text{ ч} = \frac{3}{2} \text{ ч}$.

Пусть C — точка встречи автомобиля и автобуса. До момента встречи автомобиль и автобус двигались одинаковое время $t$.
Расстояние, которое проехал автомобиль от А до С, равно $S_{AC} = v_a \cdot t$.
Расстояние, которое проехал автобус от В до С, равно $S_{CB} = v_b \cdot t$.

После встречи в точке C автомобиль продолжил движение до пункта В, проехав расстояние $S_{CB}$ за время $t_a$. Автобус, в свою очередь, проехал расстояние $S_{AC}$ за время $t_b$.
На основании этого можно составить еще два уравнения:
$S_{CB} = v_a \cdot t_a = v_a \cdot \frac{2}{3}$
$S_{AC} = v_b \cdot t_b = v_b \cdot \frac{3}{2}$

Теперь у нас есть две пары выражений для расстояний $S_{AC}$ и $S_{CB}$. Приравняем выражения для каждого из расстояний:
$v_a \cdot t = v_b \cdot \frac{3}{2}$ (1)
$v_b \cdot t = v_a \cdot \frac{2}{3}$ (2)

Из этих двух уравнений выразим время до встречи $t$:
Из уравнения (1): $t = \frac{v_b}{v_a} \cdot \frac{3}{2}$
Из уравнения (2): $t = \frac{v_a}{v_b} \cdot \frac{2}{3}$

Так как левые части уравнений равны (это одно и то же время $t$), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти соотношение между скоростями:
$\frac{v_b}{v_a} \cdot \frac{3}{2} = \frac{v_a}{v_b} \cdot \frac{2}{3}$
Перегруппируем члены, чтобы выразить отношение $\frac{v_a^2}{v_b^2}$:
$\frac{v_a^2}{v_b^2} = \frac{3/2}{2/3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$
Так как скорости — величины положительные, извлечем квадратный корень из обеих частей:
$\frac{v_a}{v_b} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$
Отсюда получаем, что $v_a = \frac{3}{2} v_b$.

Общее расстояние между пунктами А и В равно сумме расстояний $S_{AC}$ и $S_{CB}$:
$S = S_{AC} + S_{CB} = 100$ км.
Подставим выражения для $S_{AC}$ и $S_{CB}$ через скорости и время движения после встречи:
$v_b \cdot \frac{3}{2} + v_a \cdot \frac{2}{3} = 100$
Теперь подставим в это уравнение найденное соотношение $v_a = \frac{3}{2} v_b$:
$v_b \cdot \frac{3}{2} + \left(\frac{3}{2} v_b\right) \cdot \frac{2}{3} = 100$
$\frac{3}{2} v_b + v_b = 100$
$v_b \left(\frac{3}{2} + 1\right) = 100$
$v_b \cdot \frac{5}{2} = 100$
$v_b = 100 \cdot \frac{2}{5} = 40$ км/ч.

Зная скорость автобуса, найдем скорость автомобиля:
$v_a = \frac{3}{2} v_b = \frac{3}{2} \cdot 40 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость автомобиля — 60 км/ч, скорость автобуса — 40 км/ч.

632. Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни $x_1$ и $x_2$:

1) $x_1 = 3, x_2 = -1;$

2) $x_1 = 2, x_2 = 3;$

3) $x_1 = 0, x_2 = 4;$

4) $x_1 = -1, x_2 = 5.$

Приведённое квадратное уравнение — это уравнение вида $x^2 + px + q = 0$. Чтобы составить такое уравнение по его корням $x_1$ и $x_2$, можно воспользоваться теоремой Виета, обратной к ней.

Согласно теореме Виета, для приведённого квадратного уравнения справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p$.
• Произведение корней равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = q$.

Таким образом, зная корни $x_1$ и $x_2$, мы можем найти коэффициенты $p$ и $q$ и составить уравнение:

$p = -(x_1 + x_2)$

$q = x_1 \cdot x_2$

Общий вид искомого уравнения: $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.

1) $x_1=3, x_2=-1$

Находим коэффициенты $p$ и $q$:

$p = -(x_1 + x_2) = -(3 + (-1)) = -(2) = -2$

$q = x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot (-1) = -3$

Подставляем найденные коэффициенты в формулу приведённого квадратного уравнения:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Ответ: $x^2 - 2x - 3 = 0$.

2) $x_1=2, x_2=3$

Находим коэффициенты $p$ и $q$:

$p = -(x_1 + x_2) = -(2 + 3) = -5$

$q = x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 3 = 6$

Подставляем найденные коэффициенты в формулу:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Ответ: $x^2 - 5x + 6 = 0$.

3) $x_1=0, x_2=4$

Находим коэффициенты $p$ и $q$:

$p = -(x_1 + x_2) = -(0 + 4) = -4$

$q = x_1 \cdot x_2 = 0 \cdot 4 = 0$

Подставляем найденные коэффициенты в формулу:

$x^2 - 4x + 0 = 0$, или $x^2 - 4x = 0$

Ответ: $x^2 - 4x = 0$.

4) $x_1=-1, x_2=5$

Находим коэффициенты $p$ и $q$:

$p = -(x_1 + x_2) = -(-1 + 5) = -(4) = -4$

$q = x_1 \cdot x_2 = -1 \cdot 5 = -5$

Подставляем найденные коэффициенты в формулу:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Ответ: $x^2 - 4x - 5 = 0$.

633. Пусть $x_1=-3$ — корень уравнения $5x^2+12x+q=0$. Найти $x_2$.

Дано квадратное уравнение $5x^2 + 12x + q = 0$ и один из его корней $x_1 = -3$. Для нахождения второго корня $x_2$ удобнее всего воспользоваться теоремой Виета.

Согласно теореме Виета для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, сумма его корней $x_1$ и $x_2$ вычисляется по формуле: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.

В нашем уравнении коэффициенты имеют следующие значения: $a = 5$, $b = 12$, $c = q$.

Подставим значения коэффициентов в формулу для суммы корней: $x_1 + x_2 = -\frac{12}{5}$.

По условию задачи известен один корень $x_1 = -3$. Подставим его в полученное равенство: $-3 + x_2 = -\frac{12}{5}$.

Теперь решим это линейное уравнение относительно $x_2$: $x_2 = -\frac{12}{5} + 3$.

Приведем слагаемые к общему знаменателю: $x_2 = -\frac{12}{5} + \frac{3 \cdot 5}{5} = -\frac{12}{5} + \frac{15}{5}$.

Вычислим сумму: $x_2 = \frac{-12 + 15}{5} = \frac{3}{5}$.

Таким образом, второй корень уравнения равен $\frac{3}{5}$.

Ответ: $x_2 = \frac{3}{5}$.

634. Не вычисляя корней $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - 7x - 21 = 0$, найти:

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;

2) $x_1^2 + x_2^2$;

3) $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$;

4) $x_1^4 + x_2^4$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения $x^2 - 7x - 21 = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — его корни. Теорема Виета позволяет найти сумму и произведение корней, не вычисляя их самих.

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ соотношения Виета следующие:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 7x - 21 = 0$ коэффициенты равны $p = -7$ и $q = -21$.

Следовательно, мы можем найти:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-7) = 7$

Произведение корней: $x_1 x_2 = -21$

Используя эти два значения, найдем требуемые выражения.

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$, приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}$

Теперь подставим известные нам значения суммы и произведения корней:

$\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{7}{-21} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

2) Для нахождения суммы квадратов корней $x_1^2 + x_2^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Выразим из этой формулы искомую сумму квадратов:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим известные значения:

$x_1^2 + x_2^2 = (7)^2 - 2(-21) = 49 + 42 = 91$

Ответ: $91$.

3) Чтобы найти значение выражения $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$, также приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}$

Значение числителя $x_1^2 + x_2^2$ мы уже вычислили в предыдущем пункте, оно равно $91$. Значение знаменателя $x_1x_2$ нам известно, оно равно $-21$.

Подставим эти значения в дробь:

$\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = \frac{91}{-21} = -\frac{13 \cdot 7}{3 \cdot 7} = -\frac{13}{3}$

Ответ: $-\frac{13}{3}$.

4) Для нахождения суммы четвертых степеней корней $x_1^4 + x_2^4$ воспользуемся результатом, полученным в пункте 2. Представим $x_1^4 + x_2^4$ как $(x_1^2)^2 + (x_2^2)^2$ и снова применим формулу для суммы квадратов:

$x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2x_1^2x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2$

Из пункта 2 мы знаем, что $x_1^2 + x_2^2 = 91$. Также нам известно, что $x_1x_2 = -21$.

Подставим эти значения в выражение:

$x_1^4 + x_2^4 = (91)^2 - 2(-21)^2 = 8281 - 2(441) = 8281 - 882 = 7399$

Ответ: $7399$.

635. В уравнении $(a - 7)x^2 + 13x - a = 0$ один из корней равен 2.

Найти значение $a$ и второй корень уравнения.

Дано уравнение $(a-7)x^2 + 13x - a = 0$.

Значение a

По условию задачи, один из корней уравнения равен 2. Это означает, что если мы подставим значение $x=2$ в уравнение, то получим верное числовое равенство.

Выполним подстановку:

$(a - 7)(2)^2 + 13 \cdot 2 - a = 0$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно параметра $a$:

$(a - 7) \cdot 4 + 26 - a = 0$

$4a - 28 + 26 - a = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$3a - 2 = 0$

$3a = 2$

$a = \frac{2}{3}$

Ответ: $a = \frac{2}{3}$.

Второй корень уравнения

Теперь, когда известно значение $a$, подставим его в исходное уравнение, чтобы найти второй корень.

При $a = \frac{2}{3}$ уравнение имеет вид:

$(\frac{2}{3} - 7)x^2 + 13x - \frac{2}{3} = 0$

Вычислим коэффициент при $x^2$:

$(\frac{2}{3} - \frac{21}{3})x^2 + 13x - \frac{2}{3} = 0$

$-\frac{19}{3}x^2 + 13x - \frac{2}{3} = 0$

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на $-3$:

$19x^2 - 39x + 2 = 0$

Для нахождения второго корня ($x_2$) воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно $\frac{C}{A}$.

В нашем случае $A=19$, $C=2$, а известный корень $x_1 = 2$.

$x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A} \implies 2 \cdot x_2 = \frac{2}{19}$

Отсюда находим $x_2$:

$x_2 = \frac{2}{19 \cdot 2} = \frac{1}{19}$

Ответ: второй корень уравнения равен $\frac{1}{19}$.

636. Корни квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ — взаимно обратные положительные числа. Найти $q$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения. Согласно теореме Виета, справедливы следующие соотношения:
1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В условии задачи сказано, что корни уравнения — взаимно обратные числа. Это означает, что если один корень равен $x_1$, то второй корень $x_2$ равен $\frac{1}{x_1}$ (при условии, что $x_1 \ne 0$, что очевидно, так как в противном случае свободный член $q$ был бы равен нулю, и тогда второй корень не мог бы быть обратным к первому).

Произведение взаимно обратных чисел всегда равно 1. Таким образом, мы можем записать:
$x_1 \cdot x_2 = x_1 \cdot \frac{1}{x_1} = 1$

Теперь, используя второе соотношение из теоремы Виета ($x_1 \cdot x_2 = q$), мы можем приравнять его к полученному результату:
$q = 1$

Условие о том, что корни являются положительными, лишь подтверждает, что такое уравнение может существовать. Если корни $x_1$ и $x_2$ положительны, то их произведение $q$ также должно быть положительным, что соответствует найденному значению $q=1$. Сумма корней $x_1 + x_2 = -p$ также будет положительной, следовательно, $p$ должно быть отрицательным. Для существования действительных корней дискриминант $D = p^2 - 4q = p^2 - 4$ должен быть неотрицательным, то есть $p^2 \ge 4$. С учетом того, что $p < 0$, получаем $p \le -2$. Таким образом, условия задачи непротиворечивы, но для нахождения $q$ достаточно было использовать только свойство взаимно обратных корней.

Ответ: 1