Страница 253 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Решить уравнение:

а) $3x^2 = 0;$

б) $(x+1)(x-1) = 0;$

в) $4x^2 - 1 = 0;$

г) $3x^2 = 5x;$

д) $4x^2 - 4x + 1 = 0;$

е) $x^2 - 16x - 17 = 0;$

ж) $0,3x^2 + 5x = 2;$

з) $x^2 - 4x + 5 = 0.$

Последнее уравнение (з) решить графическим способом.

а) $3x^2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 = \frac{0}{3}$

$x^2 = 0$

Извлекая квадратный корень, получаем единственный корень:

$x = 0$

Ответ: $x = 0$

б) $(x+1)(x-1) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x+1=0$ или $x-1=0$

Решая каждое из этих линейных уравнений, находим корни:

$x_1 = -1$

$x_2 = 1$

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 1$

в) $4x^2 - 1 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:

$4x^2 = 1$

Разделим обе части на 4:

$x^2 = \frac{1}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $x$:

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

$x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -\frac{1}{2}$

Ответ: $x_1 = 0.5, x_2 = -0.5$

г) $3x^2 = 5x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$3x^2 - 5x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x-5) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $3x-5=0$

Решаем второе уравнение:

$3x = 5$

$x_2 = \frac{5}{3}$

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \frac{5}{3}$

д) $4x^2 - 4x + 1 = 0$

Это полное квадратное уравнение. Можно заметить, что левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = 0$

$(2x - 1)^2 = 0$

Извлекаем корень:

$2x - 1 = 0$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $x = 0.5$

е) $x^2 - 16x - 17 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, которое можно решить по теореме Виета. Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

$x_1 + x_2 = 16$

$x_1 \cdot x_2 = -17$

Методом подбора находим, что корни равны 17 и -1.

$x_1 = 17, x_2 = -1$

Проверка: $17 + (-1) = 16$, $17 \cdot (-1) = -17$.

Также можно решить через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-17) = 256 + 68 = 324 = 18^2$.

$x_{1,2} = \frac{-(-16) \pm 18}{2 \cdot 1} = \frac{16 \pm 18}{2}$.

$x_1 = \frac{16+18}{2} = 17$, $x_2 = \frac{16-18}{2} = -1$.

Ответ: $x_1 = 17, x_2 = -1$

ж) $0,3x^2 + 5x = 2$

Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$0,3x^2 + 5x - 2 = 0$

Для удобства вычислений умножим все уравнение на 10, чтобы избавиться от дроби:

$3x^2 + 50x - 20 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта. $D = b^2 - 4ac$.

$D = 50^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 2500 + 240 = 2740$.

$\sqrt{D} = \sqrt{2740} = \sqrt{4 \cdot 685} = 2\sqrt{685}$.

Корни находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-50 \pm 2\sqrt{685}}{2 \cdot 3} = \frac{-50 \pm 2\sqrt{685}}{6} = \frac{2(-25 \pm \sqrt{685})}{6} = \frac{-25 \pm \sqrt{685}}{3}$.

Ответ: $x_1 = \frac{-25 + \sqrt{685}}{3}, x_2 = \frac{-25 - \sqrt{685}}{3}$

з) $x^2 - 4x + 5 = 0$

Для решения этого уравнения графическим способом рассмотрим функцию $y = x^2 - 4x + 5$. Корни уравнения — это абсциссы точек пересечения графика этой функции с осью Ox.

Графиком функции $y = x^2 - 4x + 5$ является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = \frac{-b}{2a}$:

$x_в = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

Подставим $x_в = 2$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины $y_в$:

$y_в = (2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$

Вершина параболы находится в точке $(2, 1)$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, а ее вершина $(2, 1)$ находится выше оси Ox (так как $y_в = 1 > 0$), парабола не пересекает ось Ox. Следовательно, у уравнения нет точек пересечения с осью Ox.

Это означает, что уравнение $x^2 - 4x + 5 = 0$ не имеет действительных корней.

Для проверки можно вычислить дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Ответ: нет действительных корней.

2. Разложить на множители:

a) $x^2+x-6;$

б) $2x^2-x-3.$

а) $x^2 + x - 6$

Чтобы разложить квадратный трехчлен вида $ax^2+bx+c$ на множители, необходимо найти его корни, решив квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$. После нахождения корней $x_1$ и $x_2$ применяется формула разложения: $a(x-x_1)(x-x_2)$.

1. Приравняем трехчлен к нулю для нахождения корней:

$x^2 + x - 6 = 0$

В данном уравнении коэффициенты: $a=1, b=1, c=-6$.

2. Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

3. Найдем корни уравнения, используя формулу $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

4. Подставим полученные корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$, а также коэффициент $a=1$ в формулу разложения:

$x^2 + x - 6 = 1 \cdot (x - (-3))(x - 2) = (x+3)(x-2)$

Ответ: $(x+3)(x-2)$

б) $2x^2 - x - 3$

Используем тот же метод, что и в предыдущем пункте.

1. Приравняем трехчлен к нулю:

$2x^2 - x - 3 = 0$

Здесь коэффициенты: $a=2, b=-1, c=-3$.

2. Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$

3. Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

4. Подставим корни $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{3}{2}$ и коэффициент $a=2$ в формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$2x^2 - x - 3 = 2(x - (-1))(x - \frac{3}{2}) = 2(x+1)(x - \frac{3}{2})$

Для более удобного вида, умножим множитель 2 на скобку с дробью:

$2(x+1)(x - \frac{3}{2}) = (x+1) \cdot 2 \cdot (x - \frac{3}{2}) = (x+1)(2x - 3)$

Ответ: $(x+1)(2x-3)$

3. Расстояние между сёлами $36 \text{ км}$ один велосипедист преодолевает на $1 \text{ ч}$ быстрее другого. Найти скорость каждого велосипедиста, если известно, что скорость одного на $3 \text{ км/ч}$ больше скорости другого.

Решение:

Пусть $x$ км/ч — скорость второго (более медленного) велосипедиста. Тогда скорость первого (более быстрого) велосипедиста, согласно условию, будет $(x + 3)$ км/ч.

Время, которое требуется второму велосипедисту для преодоления расстояния в 36 км, можно выразить формулой $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{36}{x}$ часов.

Время, которое требуется первому велосипедисту для преодоления того же расстояния, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{36}{x+3}$ часов.

Из условия задачи известно, что первый велосипедист проезжает это расстояние на 1 час быстрее, чем второй. Это означает, что время второго велосипедиста на 1 час больше времени первого. Составим уравнение на основе этой разницы во времени:

$t_2 - t_1 = 1$

Подставим выражения для времени в уравнение:

$\frac{36}{x} - \frac{36}{x+3} = 1$

Для решения этого рационального уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+3)$:

$\frac{36(x+3) - 36x}{x(x+3)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{36x + 108 - 36x}{x^2 + 3x} = 1$

$\frac{108}{x^2 + 3x} = 1$

Так как скорость $x$ должна быть положительной, знаменатель не равен нулю. Умножим обе части уравнения на $x^2 + 3x$:

$108 = x^2 + 3x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 3x - 108 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441$

Найдем корни уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{-3 \pm 21}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{-3 + 21}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-3 - 21}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -12$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость второго, более медленного велосипедиста, равна 9 км/ч.

Теперь найдем скорость первого велосипедиста:

$x + 3 = 9 + 3 = 12$ км/ч.

Проверим решение: время первого велосипедиста $36/12 = 3$ часа, время второго $36/9 = 4$ часа. Разница во времени $4 - 3 = 1$ час, что соответствует условию.

Ответ: скорость одного велосипедиста 9 км/ч, а другого — 12 км/ч.

4. Решить систему уравнений:

1) $\begin{cases} 4x - y = 2, \\ 2x - 0.5y = -1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 72, \\ x + y = 9. \end{cases}$

1)

Дана система линейных уравнений:

$ \begin{cases} 4x - y = 2, \\ 2x - 0,5y = -1. \end{cases} $

Для решения этой системы можно использовать метод алгебраического сложения. Умножим второе уравнение системы на 2, чтобы коэффициенты при переменных $x$ и $y$ стали такими же, как в первом уравнении:

$2 \cdot (2x - 0,5y) = 2 \cdot (-1)$

$4x - y = -2$

Теперь исходная система эквивалентна следующей системе:

$ \begin{cases} 4x - y = 2, \\ 4x - y = -2. \end{cases} $

Вычтем из первого уравнения второе:

$(4x - y) - (4x - y) = 2 - (-2)$

$0 = 4$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что система уравнений несовместна, то есть не имеет решений. Геометрически это означает, что уравнения описывают две параллельные прямые, которые не пересекаются.

Ответ: решений нет.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 72, \\ x + y = 9. \end{cases} $

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ для преобразования первого уравнения системы:

$(x - y)(x + y) = 72$

Из второго уравнения системы известно, что $x + y = 9$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$(x - y) \cdot 9 = 72$

Разделим обе части уравнения на 9, чтобы найти значение выражения $x - y$:

$x - y = \frac{72}{9}$

$x - y = 8$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 9, \\ x - y = 8. \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x$:

$(x + y) + (x - y) = 9 + 8$

$2x = 17$

$x = \frac{17}{2} = 8,5$

Теперь подставим найденное значение $x$ в уравнение $x + y = 9$, чтобы найти $y$:

$8,5 + y = 9$

$y = 9 - 8,5$

$y = 0,5$

Проверим решение, подставив значения в исходное первое уравнение: $8,5^2 - 0,5^2 = 72,25 - 0,25 = 72$. Равенство верное.

Ответ: $(8,5; 0,5)$.