Номер 4, страница 253 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Проверь себя!. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 4, страница 253.

Условие.

4. Решить систему уравнений:

1) $\begin{cases} 4x - y = 2, \\ 2x - 0.5y = -1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 72, \\ x + y = 9. \end{cases}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Дана система линейных уравнений:

$ \begin{cases} 4x - y = 2, \\ 2x - 0,5y = -1. \end{cases} $

Для решения этой системы можно использовать метод алгебраического сложения. Умножим второе уравнение системы на 2, чтобы коэффициенты при переменных $x$ и $y$ стали такими же, как в первом уравнении:

$2 \cdot (2x - 0,5y) = 2 \cdot (-1)$

$4x - y = -2$

Теперь исходная система эквивалентна следующей системе:

$ \begin{cases} 4x - y = 2, \\ 4x - y = -2. \end{cases} $

Вычтем из первого уравнения второе:

$(4x - y) - (4x - y) = 2 - (-2)$

$0 = 4$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что система уравнений несовместна, то есть не имеет решений. Геометрически это означает, что уравнения описывают две параллельные прямые, которые не пересекаются.

Ответ: решений нет.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 72, \\ x + y = 9. \end{cases} $

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ для преобразования первого уравнения системы:

$(x - y)(x + y) = 72$

Из второго уравнения системы известно, что $x + y = 9$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$(x - y) \cdot 9 = 72$

Разделим обе части уравнения на 9, чтобы найти значение выражения $x - y$:

$x - y = \frac{72}{9}$

$x - y = 8$

Теперь мы имеем систему из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 9, \\ x - y = 8. \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x$:

$(x + y) + (x - y) = 9 + 8$

$2x = 17$

$x = \frac{17}{2} = 8,5$

Теперь подставим найденное значение $x$ в уравнение $x + y = 9$, чтобы найти $y$:

$8,5 + y = 9$

$y = 9 - 8,5$

$y = 0,5$

Проверим решение, подставив значения в исходное первое уравнение: $8,5^2 - 0,5^2 = 72,25 - 0,25 = 72$. Равенство верное.

Ответ: $(8,5; 0,5)$.