Номер 6, страница 252 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Практические и прикладные задачи. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 6, страница 252.

Условие.

6. Сосуд наполнен жидкостью А. Из него отлили 6 л, добавили 6 л жидкости В, перемешали и отлили 15 л смеси. Затем долили ещё 15 л жидкости В и получили смесь, содержащую 40% (по объёму) жидкости А. Каков объём сосуда?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть $V$ — искомый объём сосуда в литрах.

1. Начальные условия и первый этап.
Изначально сосуд был полностью наполнен жидкостью А, её объём был равен $V$.
После того как отлили 6 л жидкости А и добавили 6 л жидкости В, объём жидкости А в сосуде стал равен $(V-6)$ л. Общий объём смеси остался $V$ л.
Концентрация (объёмная доля) жидкости А в полученной смеси стала равна:
$C_1 = \frac{V - 6}{V}$

2. Второй этап.
Затем из сосуда отлили 15 л смеси. Концентрация жидкости А в смеси осталась прежней. Количество жидкости А, которое отлили вместе со смесью, составляет $15 \times C_1$.
Объём жидкости А, оставшийся в сосуде после этого действия:
$V_{A1} = (V - 6) - 15 \times \frac{V - 6}{V} = (V - 6) \left(1 - \frac{15}{V}\right) = \frac{(V - 6)(V - 15)}{V}$
Общий объём жидкости в сосуде на этом этапе составил $(V - 15)$ л.

3. Третий этап и составление уравнения.
После этого в сосуд долили ещё 15 л жидкости В. Объём жидкости А при этом не изменился и остался равен $V_{A1}$.
Общий объём смеси в сосуде снова стал полным: $(V - 15) + 15 = V$ л.
По условию, в итоговой смеси содержится 40% (т.е. 0,4) жидкости А. Конечная концентрация жидкости А равна отношению её объёма к общему объёму смеси:
$\frac{V_{A1}}{V} = \frac{\frac{(V - 6)(V - 15)}{V}}{V} = \frac{(V - 6)(V - 15)}{V^2}$
Составим уравнение:
$\frac{(V - 6)(V - 15)}{V^2} = 0.4$

4. Решение уравнения.
$V^2 - 15V - 6V + 90 = 0.4V^2$
$V^2 - 21V + 90 = 0.4V^2$
$0.6V^2 - 21V + 90 = 0$
Умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$6V^2 - 210V + 900 = 0$
Разделим обе части на 6 для упрощения:
$V^2 - 35V + 150 = 0$
Это квадратное уравнение вида $aV^2+bV+c=0$. Найдём его корни, например, с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 150 = 1225 - 600 = 625 = 25^2$
$V_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 \pm 25}{2}$
$V_1 = \frac{35 + 25}{2} = \frac{60}{2} = 30$
$V_2 = \frac{35 - 25}{2} = \frac{10}{2} = 5$

5. Анализ полученных корней.
По условию, из сосуда отливали 6 л, а затем 15 л смеси. Следовательно, объём сосуда $V$ должен быть не меньше 15 л.
Корень $V_2 = 5$ не удовлетворяет этому условию ($5 < 15$), поэтому он является посторонним.
Корень $V_1 = 30$ удовлетворяет условию ($30 > 15$).
Таким образом, объём сосуда составляет 30 литров.

Ответ: 30 л.