Номер 1, страница 251 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Практические и прикладные задачи. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 1, страница 251.

Условие.

1. Водонапорный бак заполняется двумя трубами за 2 ч 55 мин. Первая труба может его наполнить на 2 ч быстрее, чем вторая. За какое время каждая труба, работая отдельно, заполнит этот бак?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Примем весь объем бака за 1.
Сперва переведем общее время заполнения бака в минуты:
$2 \text{ ч } 55 \text{ мин} = 2 \times 60 + 55 = 120 + 55 = 175 \text{ минут}$.
Совместная производительность (скорость заполнения) двух труб равна $\frac{1}{175}$ бака в минуту.
Пусть $t$ — это время в минутах, за которое вторая труба заполняет бак, работая в одиночку. Тогда ее производительность составляет $\frac{1}{t}$ бака в минуту.
По условию, первая труба заполняет бак на 2 часа (то есть на $2 \times 60 = 120$ минут) быстрее. Значит, время работы первой трубы составляет $(t - 120)$ минут, а ее производительность — $\frac{1}{t - 120}$ бака в минуту.
Когда трубы работают вместе, их производительности складываются. Составим уравнение:
$\frac{1}{t} + \frac{1}{t - 120} = \frac{1}{175}$
Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю:
$\frac{(t - 120) + t}{t(t - 120)} = \frac{1}{175}$
$\frac{2t - 120}{t^2 - 120t} = \frac{1}{175}$
Теперь воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$175(2t - 120) = 1(t^2 - 120t)$
$350t - 21000 = t^2 - 120t$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $at^2 + bt + c = 0$:
$t^2 - 120t - 350t + 21000 = 0$
$t^2 - 470t + 21000 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-470)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21000 = 220900 - 84000 = 136900$
$\sqrt{D} = \sqrt{136900} = 370$
Вычислим значения $t$:
$t_1 = \frac{470 + 370}{2} = \frac{840}{2} = 420$
$t_2 = \frac{470 - 370}{2} = \frac{100}{2} = 50$
Проанализируем полученные корни. $t$ — это время работы второй трубы, а время работы первой трубы равно $(t-120)$. Время не может быть отрицательным, поэтому должно выполняться условие $t - 120 > 0$, то есть $t > 120$.
Корень $t_2 = 50$ не подходит, так как $50 < 120$, и в этом случае время работы первой трубы было бы отрицательным ($50 - 120 = -70$), что лишено физического смысла.
Следовательно, правильное решение — $t_1 = 420$.
Время, за которое вторая труба заполнит бак, составляет 420 минут. Переведем это в часы: $420 / 60 = 7$ часов.
Время, за которое первая труба заполнит бак: $420 - 120 = 300$ минут. Переведем это в часы: $300 / 60 = 5$ часов.
Ответ: первая труба, работая отдельно, заполнит бак за 5 часов, а вторая — за 7 часов.