Номер 642, страница 251 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 642, страница 251.

Условие.

642. Несколько спортсменов, уезжая после соревнований домой, обменялись сувенирами (каждый подарил каждому по одному сувениру). Сколько было спортсменов, если сувениров понадобилось 30?

Решение 3.

Решение 4.

Пусть $n$ — искомое количество спортсменов.

По условию задачи, каждый спортсмен подарил сувенир каждому другому спортсмену. Это означает, что один спортсмен дарит сувениры $n-1$ человеку (всем, кроме себя).

Поскольку спортсменов всего $n$, и каждый из них дарит $n-1$ сувенир, то общее количество подаренных сувениров можно найти, умножив количество спортсменов на количество сувениров, которые подарил каждый из них. Математически это соответствует числу размещений без повторений из $n$ элементов по 2.

Составим уравнение, где общее количество сувениров равно 30:
$n \times (n-1) = 30$

Для нахождения $n$ можно решить это уравнение несколькими способами.

Способ 1: Логический подбор
Нам необходимо найти два последовательных натуральных числа ($n$ и $n-1$), произведение которых равно 30. Начнем перебор с небольших чисел:
Если $n=4$, то $4 \times 3 = 12$ (не подходит).
Если $n=5$, то $5 \times 4 = 20$ (не подходит).
Если $n=6$, то $6 \times 5 = 30$ (подходит).
Таким образом, мы нашли, что количество спортсменов равно 6.

Способ 2: Решение квадратного уравнения
Раскроем скобки в уравнении $n(n-1) = 30$:
$n^2 - n = 30$
Приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$n^2 - n - 30 = 0$
Найдем корни уравнения через дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:
$n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 11}{2}$
$n_1 = \frac{1 + 11}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$n_2 = \frac{1 - 11}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
Количество спортсменов не может быть отрицательным числом, поэтому корень $n_2 = -5$ не является решением задачи. Единственный подходящий корень — $n_1=6$.

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 6 спортсменов.