Номер 637, страница 251 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 637, страница 251.

Условие.

637. Сумма квадратов корней уравнения $x^2+px-3=0$ равна 10.

Найти $p$.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$. Согласно теореме Виета, для корней $x_1$ и $x_2$ выполняются следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c$

В нашем уравнении $x^2 + px - 3 = 0$ коэффициенты равны $b=p$ и $c=-3$. Следовательно:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = -3$

По условию задачи, сумма квадратов корней равна 10:
$x_1^2 + x_2^2 = 10$

Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы:
$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$
Отсюда получаем:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим в это выражение известные нам значения из теоремы Виета и условия задачи:
$10 = (-p)^2 - 2(-3)$

Решим полученное уравнение для нахождения $p$:
$10 = p^2 + 6$
$p^2 = 10 - 6$
$p^2 = 4$
$p = \pm \sqrt{4}$
$p_1 = 2$, $p_2 = -2$

Для того чтобы у уравнения были действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
$D = b^2 - 4ac = p^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = p^2 + 12$.
Поскольку $p^2 \ge 0$ для любого действительного $p$, дискриминант $D = p^2 + 12$ всегда будет положительным. Следовательно, уравнение имеет два различных действительных корня при любых найденных значениях $p$.

Ответ: $p = \pm 2$.