Номер 634, страница 250 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 634, страница 250.

Условие.

634. Не вычисляя корней $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - 7x - 21 = 0$, найти:

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;

2) $x_1^2 + x_2^2$;

3) $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$;

4) $x_1^4 + x_2^4$.

Решение 3.

Решение 4.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения $x^2 - 7x - 21 = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — его корни. Теорема Виета позволяет найти сумму и произведение корней, не вычисляя их самих.

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ соотношения Виета следующие:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 7x - 21 = 0$ коэффициенты равны $p = -7$ и $q = -21$.

Следовательно, мы можем найти:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-7) = 7$

Произведение корней: $x_1 x_2 = -21$

Используя эти два значения, найдем требуемые выражения.

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$, приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}$

Теперь подставим известные нам значения суммы и произведения корней:

$\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{7}{-21} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

2) Для нахождения суммы квадратов корней $x_1^2 + x_2^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Выразим из этой формулы искомую сумму квадратов:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим известные значения:

$x_1^2 + x_2^2 = (7)^2 - 2(-21) = 49 + 42 = 91$

Ответ: $91$.

3) Чтобы найти значение выражения $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$, также приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}$

Значение числителя $x_1^2 + x_2^2$ мы уже вычислили в предыдущем пункте, оно равно $91$. Значение знаменателя $x_1x_2$ нам известно, оно равно $-21$.

Подставим эти значения в дробь:

$\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = \frac{91}{-21} = -\frac{13 \cdot 7}{3 \cdot 7} = -\frac{13}{3}$

Ответ: $-\frac{13}{3}$.

4) Для нахождения суммы четвертых степеней корней $x_1^4 + x_2^4$ воспользуемся результатом, полученным в пункте 2. Представим $x_1^4 + x_2^4$ как $(x_1^2)^2 + (x_2^2)^2$ и снова применим формулу для суммы квадратов:

$x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2x_1^2x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2$

Из пункта 2 мы знаем, что $x_1^2 + x_2^2 = 91$. Также нам известно, что $x_1x_2 = -21$.

Подставим эти значения в выражение:

$x_1^4 + x_2^4 = (91)^2 - 2(-21)^2 = 8281 - 2(441) = 8281 - 882 = 7399$

Ответ: $7399$.