Номер 631, страница 250 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 631, страница 250.

Условие.

631. Из пункта А в пункт В отправился автомобиль, а одновременно навстречу ему из пункта В отправился автобус. Автомобиль прибыл в В через 40 мин после встречи с автобусом, а автобус прибыл в А через 1,5 ч после их встречи. Найти скорости автомобиля и автобуса, если расстояние между пунктами А и В равно 100 км (скорости автомобиля и автобуса постоянны).

Решение 3.

Решение 4.

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$v_a$ — скорость автомобиля (в км/ч),
$v_b$ — скорость автобуса (в км/ч),
$S$ — расстояние между пунктами А и В, равное 100 км,
$t$ — время от начала движения до момента встречи (в часах).

Прежде всего, переведем время, данное в условии, в часы для удобства расчетов:
Время движения автомобиля после встречи: $t_a = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.
Время движения автобуса после встречи: $t_b = 1,5 \text{ ч} = \frac{3}{2} \text{ ч}$.

Пусть C — точка встречи автомобиля и автобуса. До момента встречи автомобиль и автобус двигались одинаковое время $t$.
Расстояние, которое проехал автомобиль от А до С, равно $S_{AC} = v_a \cdot t$.
Расстояние, которое проехал автобус от В до С, равно $S_{CB} = v_b \cdot t$.

После встречи в точке C автомобиль продолжил движение до пункта В, проехав расстояние $S_{CB}$ за время $t_a$. Автобус, в свою очередь, проехал расстояние $S_{AC}$ за время $t_b$.
На основании этого можно составить еще два уравнения:
$S_{CB} = v_a \cdot t_a = v_a \cdot \frac{2}{3}$
$S_{AC} = v_b \cdot t_b = v_b \cdot \frac{3}{2}$

Теперь у нас есть две пары выражений для расстояний $S_{AC}$ и $S_{CB}$. Приравняем выражения для каждого из расстояний:
$v_a \cdot t = v_b \cdot \frac{3}{2}$ (1)
$v_b \cdot t = v_a \cdot \frac{2}{3}$ (2)

Из этих двух уравнений выразим время до встречи $t$:
Из уравнения (1): $t = \frac{v_b}{v_a} \cdot \frac{3}{2}$
Из уравнения (2): $t = \frac{v_a}{v_b} \cdot \frac{2}{3}$

Так как левые части уравнений равны (это одно и то же время $t$), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти соотношение между скоростями:
$\frac{v_b}{v_a} \cdot \frac{3}{2} = \frac{v_a}{v_b} \cdot \frac{2}{3}$
Перегруппируем члены, чтобы выразить отношение $\frac{v_a^2}{v_b^2}$:
$\frac{v_a^2}{v_b^2} = \frac{3/2}{2/3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$
Так как скорости — величины положительные, извлечем квадратный корень из обеих частей:
$\frac{v_a}{v_b} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$
Отсюда получаем, что $v_a = \frac{3}{2} v_b$.

Общее расстояние между пунктами А и В равно сумме расстояний $S_{AC}$ и $S_{CB}$:
$S = S_{AC} + S_{CB} = 100$ км.
Подставим выражения для $S_{AC}$ и $S_{CB}$ через скорости и время движения после встречи:
$v_b \cdot \frac{3}{2} + v_a \cdot \frac{2}{3} = 100$
Теперь подставим в это уравнение найденное соотношение $v_a = \frac{3}{2} v_b$:
$v_b \cdot \frac{3}{2} + \left(\frac{3}{2} v_b\right) \cdot \frac{2}{3} = 100$
$\frac{3}{2} v_b + v_b = 100$
$v_b \left(\frac{3}{2} + 1\right) = 100$
$v_b \cdot \frac{5}{2} = 100$
$v_b = 100 \cdot \frac{2}{5} = 40$ км/ч.

Зная скорость автобуса, найдем скорость автомобиля:
$v_a = \frac{3}{2} v_b = \frac{3}{2} \cdot 40 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость автомобиля — 60 км/ч, скорость автобуса — 40 км/ч.