Номер 632, страница 250 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 632, страница 250.

Условие.

632. Записать приведённое квадратное уравнение, имеющее корни $x_1$ и $x_2$:

1) $x_1 = 3, x_2 = -1;$

2) $x_1 = 2, x_2 = 3;$

3) $x_1 = 0, x_2 = 4;$

4) $x_1 = -1, x_2 = 5.$

Решение 3.

Решение 4.

Приведённое квадратное уравнение — это уравнение вида $x^2 + px + q = 0$. Чтобы составить такое уравнение по его корням $x_1$ и $x_2$, можно воспользоваться теоремой Виета, обратной к ней.

Согласно теореме Виета, для приведённого квадратного уравнения справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: $x_1 + x_2 = -p$.
• Произведение корней равно свободному члену: $x_1 \cdot x_2 = q$.

Таким образом, зная корни $x_1$ и $x_2$, мы можем найти коэффициенты $p$ и $q$ и составить уравнение:

$p = -(x_1 + x_2)$

$q = x_1 \cdot x_2$

Общий вид искомого уравнения: $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$.

---

1) $x_1=3, x_2=-1$

Находим коэффициенты $p$ и $q$:

$p = -(x_1 + x_2) = -(3 + (-1)) = -(2) = -2$

$q = x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot (-1) = -3$

Подставляем найденные коэффициенты в формулу приведённого квадратного уравнения:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Ответ: $x^2 - 2x - 3 = 0$.

2) $x_1=2, x_2=3$

Находим коэффициенты $p$ и $q$:

$p = -(x_1 + x_2) = -(2 + 3) = -5$

$q = x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 3 = 6$

Подставляем найденные коэффициенты в формулу:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Ответ: $x^2 - 5x + 6 = 0$.

3) $x_1=0, x_2=4$

Находим коэффициенты $p$ и $q$:

$p = -(x_1 + x_2) = -(0 + 4) = -4$

$q = x_1 \cdot x_2 = 0 \cdot 4 = 0$

Подставляем найденные коэффициенты в формулу:

$x^2 - 4x + 0 = 0$, или $x^2 - 4x = 0$

Ответ: $x^2 - 4x = 0$.

4) $x_1=-1, x_2=5$

Находим коэффициенты $p$ и $q$:

$p = -(x_1 + x_2) = -(-1 + 5) = -(4) = -4$

$q = x_1 \cdot x_2 = -1 \cdot 5 = -5$

Подставляем найденные коэффициенты в формулу:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Ответ: $x^2 - 4x - 5 = 0$.