Номер 635, страница 250 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 5. Глава 5. Квадратные уравнения - номер 635, страница 250.

Условие.

635. В уравнении $(a - 7)x^2 + 13x - a = 0$ один из корней равен 2.

Найти значение $a$ и второй корень уравнения.

Решение 3.

Решение 4.

Дано уравнение $(a-7)x^2 + 13x - a = 0$.

Значение a

По условию задачи, один из корней уравнения равен 2. Это означает, что если мы подставим значение $x=2$ в уравнение, то получим верное числовое равенство.

Выполним подстановку:

$(a - 7)(2)^2 + 13 \cdot 2 - a = 0$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно параметра $a$:

$(a - 7) \cdot 4 + 26 - a = 0$

$4a - 28 + 26 - a = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$3a - 2 = 0$

$3a = 2$

$a = \frac{2}{3}$

Ответ: $a = \frac{2}{3}$.

Второй корень уравнения

Теперь, когда известно значение $a$, подставим его в исходное уравнение, чтобы найти второй корень.

При $a = \frac{2}{3}$ уравнение имеет вид:

$(\frac{2}{3} - 7)x^2 + 13x - \frac{2}{3} = 0$

Вычислим коэффициент при $x^2$:

$(\frac{2}{3} - \frac{21}{3})x^2 + 13x - \frac{2}{3} = 0$

$-\frac{19}{3}x^2 + 13x - \frac{2}{3} = 0$

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на $-3$:

$19x^2 - 39x + 2 = 0$

Для нахождения второго корня ($x_2$) воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно $\frac{C}{A}$.

В нашем случае $A=19$, $C=2$, а известный корень $x_1 = 2$.

$x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A} \implies 2 \cdot x_2 = \frac{2}{19}$

Отсюда находим $x_2$:

$x_2 = \frac{2}{19 \cdot 2} = \frac{1}{19}$

Ответ: второй корень уравнения равен $\frac{1}{19}$.